数列极限的存在性

设数列 $\sed{x_n}$ 满足     $$\bex     x_1=1,\quad x_{n+1}=\sqrt{4+3x_n}\ (n=1,2,\cdots).     \eex$$    

 

证明 $\sed{x_n}$ 收敛, 并求其极限. 证明:  记 $f(x)=\sqrt{4+3x}$, 则 $$\bex |f'(x)|=\sev{\frac{3}{2\sqrt{4+3x}}}\leq \frac{3}{4}<1. \eex$$ 于是 $\sed{x_n}$ 为压缩数列, 是收敛的. 设极限为 $x_0$, 则 $$\bex x_0=\sqrt{4+3x_0}\ra x_0=4. \eex$$