函数项级数的一致收敛

证明函数项级数 $\dps{\vsm{n}x^3e^{-nx^2}}$ 在 $[0,\infty)$ 上一致收敛.

 

证明:  由 $$\bex (x^3e^{-nx^2})'=x^2e^{-nx^2}(3-2nx^2)\sedd{\ba{ll}>0,&0<x<\sqrt{\frac{3}{2n}},\\ <0,&x>\sqrt{\frac{3}{2n}}\ea} \eex$$ 知 $$\bex \max_{x\in [0,\infty)}x^3e^{-nx^2}=\sex{\frac{3}{2n}}^\frac{3}{2}e^{-\frac{3}{2}}. \eex$$ 由 Weierstrass M-判别法即知结论.