平均遍历定理
(平均遍历定理). 设 $X$ 是自反 Banach 空间, $V\in \scrB(X)$ 并且存在常数 $K$, 使得 $\sen{V^n}\leq K\ (n=1,2,\cdots)$, 令 $$\bex T_n=\frac{1}{n}\sex{I+V+\cdots+V^{n-1}}. \eex$$ 证明: (1) $\sed{T_n}$ 在 $\scrN(I-V)\oplus \overline{\scrR(I-V)}$ 上强收敛于一个线性算子 $P$, $P^2=P$ 且 $\sen{P}\leq K$. (2) $X=\scrN(I-V)\oplus \overline{\scrR(I-V)}$, 从而 $\sed{T_n}$ 在 $X$ 上强收敛于 $P$.
证明:
(1) 对 $y\in (I-V)x\in \scrR(I-V)$, 有 $$\bex T_ny=\frac{1}{n}(I+V+\cdots+V^{n-1})(I-V)x =\frac{1}{n}(I-V^n)x, \eex$$ 而 $$\bex \sen{T_ny}\leq\frac{1+K}{n}\sen{x}\to 0\quad\sex{n\to\infty}. \eex$$ 由此, $$\bee\label{1} y\in \scrR(I-V)\ra T_ny\to 0\ (n\to\infty). \eee$$ 对 $y\in \overline{\scrR(I-V)}$, 任意固定的 $\ve>0$, $$\bex \exists\ y_\ve\in \scrR(I-V),\st \sen{y_\ve-y}<\frac{\ve}{2K}. \eex$$ 又由 \eqref{1} 知 $T_ny_\ve\to 0\ (n\to\infty)$; 即对该 $y_\ve$, $$\bex \exists\ N,\st n\geq N\ra \sen{T_ny_\ve}<\frac{\ve}{2}. \eex$$ 于是当 $n\geq N$ 时, $$\beex \bea \sen{T_ny}&\leq \sen{T_n(y-y_\ve)}+\sen{T_ny_\ve}\\ &\leq \sen{T_n}\cdot \sen{y-y_\ve} +\sen{T_ny_\ve}\\ &\leq K\cdot \frac{\ve}{2K}+\frac{\ve}{2}\\ &=\ve. \eea \eeex$$ 由此, $$\bee\label{2} y\in\overline{\scrR(I-V)}\ra T_ny\to 0\ (n\to\infty). \eee$$ 再者, 对 $y\in \scrN(I-V)$ 有 $(I-V)y=0$, $y=Vy$, 而 $y=Vy=V^2y=\cdots$, $$\bex T_ny=\frac{1}{n}(I+V+\cdots+V^{n-1})y =\frac{1}{n}\cdot ny=y. \eex$$ 由此, $$\bee\label{3} y\in \scrN(I-V)\ra T_ny\to y\ (n\to\infty). \eee$$ 由 \eqref{2}, \eqref{3}, 我们知 $$\bee\label{4} \scrN(I-V)\cap \overline{\scrR(I-V)}=\sed{0}. \eee$$ 事实上, $$\beex \bea y\in \scrN(I-V)\cap \overline{\scrR(I-V)} &\ra \left\{\ba{ll} T_ny\to 0,&\mbox{ 由 }\eqref{2}\\ T_ny\to y,&\mbox{ 由 }\eqref{3} \ea\right.\\ &\ra y=0. \eea \eeex$$ 据 \eqref{2},\eqref{3},\eqref{4}, 我们有 $$\beex \bea &\quad y\in \scrN(I-V)\oplus \overline{\scrR(I-V)}\\ &\ra y=y_1+y_2\quad\sex{y_1\in \scrN(I-V),\ y_2\in \overline{\scrR(I-V)}}\\ &\ra T_ny=T_ny_1+T_ny_2\to y_1+0=y_1\quad(n\to\infty). \eea \eeex$$ 定义算子 $$\bex \ba{cccc} P:&\scrN(I-V)\oplus \overline{\scrR(I-V)}&\to&\scrN(I-V)\oplus \overline{\scrR(I-V)}\\ &y&\mapsto&y_1, \ea \eex$$ 则易知 $P$ 是线性的, $P^2=P$, 且由 $$\bex \sen{Py}=\sen{\lim_{n\to\infty}T_ny} =\lim_{n\to\infty}\sen{T_ny} \leq K\sen{y}\quad\sex{\forall\ y\in \scrN(I-V)\oplus\overline{\scrR(I-V)}} \eex$$ 知 $\sen{P}\leq K$.
(2) 对 $x\in X$, 由 $$\bex \sen{T_nx}\leq \sen{T_n}\cdot \sen{x}\leq K\sen{x} \eex$$ 知 $\sed{\sen{T_nx}}$ 有界. 由 $X$ 的自反性知\footnote{参见张恭庆泛函分析讲义第二章第五节的定理 2.5.28---自反 Banach 空间中的有界点列一定有弱收敛的子列.} $$\bex \exists\ \sed{n_j},\ y\in X,\st T_{n_j}x\rightharpoonup y\ \sex{\mbox{弱收敛}}. \eex$$ 于是对 $\forall\ f\in \scrN(I-V^*)$, $$\beex \bea \sef{f,y}&=\lim_{j\to\infty} \sef{f,T_{n_j}x}\\ &=\lim_{j\to\infty} \sef{f,\frac{x+Vx+\cdots+V^{n_j-1}x}{n}}\\ &=\lim_{j\to\infty}\frac{1}{n_j} \sez{\sef{f,x}+\sef{f,Vx} +\cdots+\sef{f,V^{n_j-1}x}}\\ &=\lim_{j\to\infty}\sef{f,x}\\ &\quad\sex{f\in \scrN(I-V^*)^\perp\ra \sef{(I-V^*)f,x}=\sef{f,(I-V)x}=0\atop\ra f(x)=f(Vx)=f(V^2x)=\cdots}\\ &=\sef{f,x}. \eea \eeex$$ 故\footnote{这里及以后我们利用里家里蹲大学数学杂志第223期的结果.} $$\beex \bea &\quad\sef{f,x-y}=0,\quad \forall\ f\in\scrN(I-V^*)\\ &\ra x-y\in \scrN(I-V^*)^\perp=\overline{\scrR(I-V)}. \eea \eeex$$ 往证 $$\bex y\in \scrN(I-V)=\overline{\scrR(I-V^*)}^\perp, \eex$$ 而有结论: $$\bex X=\scrN(I-V)\oplus \overline{\scrR(I-V)}. \eex$$ 事实上, 对 $\forall\ (I-V^*)f\in \scrR(I-V^*)$, $$\beex \bea \sef{(I-V^*)f,y} &=\lim_{j\to\infty} \sef{(I-V^*),\frac{x+Vx+\cdots+V^{n_j-1}x}{n_j}}\\ &=\lim_{j\to\infty}\sef{f,(I-V)\frac{x+Vx+\cdots+V^{n_j-1}x}{n_j}}\\ &=\lim_{j\to\infty}\sef{f,\frac{x-V^{n_j}x}{n_j}}\\ &=0\\ &\quad\sex{\sev{\sef{f,\frac{x-V^{n_j}x}{n}}}\leq \sen{f}\cdot\frac{1+K}{n}\sen{x}}. \eea \eeex$$