实数域和有理数域上的正定矩阵

1. 设实半正定矩阵 $A$ 满足:
   $$\bee\label{130628.1}
   \alpha\in \bbQ^n,\quad\alpha^tA\alpha=0\ra \alpha=0.
   \eee$$
   证明或否定: $A$ 是正定的.

2. 若 (1) 中的矩阵 $A$ 为有理半正定矩阵, 再回答第一小问.

    

解答：

1. $A$ 不一定正定. 比如
       $$\bex
       A=\sex{\ba{cc}
       1&e\\
       e&e^2\ea}
       \eex$$
   不正定, 但适合 \eqref{130628.1}. 因为
       $$\beex
       \bea
       &\quad 0=\alpha^tA\alpha=x^2+2exy+e^2y^2\quad(\alpha^t=(x,y\in\bbQ^2))\\
       &\ra e=-x/y\mbox{ 或 }y=0\\
       &\ra x=y=0,\quad \alpha=0.
       \eea
       \eeex$$
   

2. 若 $A$ 为有理矩阵, 则结论正确. 经初等变换, 存在可逆有理阵 $P$, 使得 $P^tAP=\diag(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)$. 由 $A$ 半正定知各 $\lambda_i\geq 0$. 若某 $\lambda_l=0$, 则取
       $$\bex
       \alpha^t=e_l^tP^t\neq 0,\quad e_l=(\underbrace{0,\cdots,0,1}_{l\mbox{个}},0,\cdots,0),
       \eex$$
       有
       $$\bex
       \alpha^tA\alpha
       =e_l^tP^tAPe_l
       =e_l^t\diag(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)e_l=0.
       \eex$$
   

注记：

 

1. 这是我的博士同学 X.N. Zeng 在看他的魔鬼数论书是提出并解决的. 但是他的提法有点问题.

2. 你要搞懂我要问的是什么哦. 我是说 ``任意满足 $\alpha^tQ\alpha=0$ 的有理向量 $\alpha$, 都适合 $\alpha=0$''.