[物理学与PDEs]第2章习题7 一维不可压理想流体的求解

设有以 $x$ 轴为轴向的等轴截面管道, 其中充满着沿 $x$ 方向流动的不可压缩的理想流体, 在每一横截面上流体的状态相同, 且 $p=p(x)$. 若已知 $p(0) =p_1$, $p(L)=p_2$, 且 $p_1>p_2$, 试确定管内流体的速度 (忽略体积力).

 

解答: 由流体动力学方程组知 $$\beex \bea &\quad \cfrac{\rd u}{\rd x}=0;\\ \cfrac{\rd u}{\rd t}=-\cfrac{\rd p}{\rd x} &\ra \cfrac{\rd^2p}{\rd x^2}=-\cfrac{\rd^2u}{\rd x\rd t}=0\\ &\ra p=ax+b\\ &\ra p=\cfrac{p_2-p_1}{L}x+p_1\quad(p(0) =p_1,p(L)=p_2);\\ \cfrac{\rd u}{\rd t}=-\cfrac{\rd p}{\rd x} &\ra u(t)=\cfrac{p_1-p_2}{L}t. \eea \eeex$$