[物理学与PDEs]第5章习题9 伴随矩阵的特征值

设 $3\times 3$ 阵 ${\bf A}$ 的特征值为 $\lm_1,\lm_2,\lm_3$, 证明 $\cof {\bf A}$ 的特征值为 $$\bex \lm_2\lm_3,\quad \lm_3\lm_1,\quad \lm_1\lm_2.  \eex$$

 

证明:

 

证明: 由扰动法, 不妨设 ${\bf A}$ 可逆, 而 $$\beex \bea 0&=|\lm_i{\bf I}-{\bf A}|\cdot|\cof {\bf A}|\\ &=|\lm_i\cof{\bf A}-|{\bf A}|{\bf I}|\\ &=|\lm_i\cof{\bf A}-\lm_1\cdots\lm_n{\bf I}|\\ &=(-\lm_i)^n|\lm_1\cdots\lm_{i-1}\lm_{i+1}\cdots\lm_n{\bf I}-\cof{\bf A}|. \eea \eeex$$