[再寄小读者之数学篇](2014-04-20 [苏州大学数学专业考研复试试题] 解析函数有特定表达式的一个充分条件)

设 $f$ 在 $D=\sed{z\in\bbC;\ |z|\leq 1}$ 上除点 $z_0\in D$ 外处处解析, 且满足

(1) 在 $D$ 内 $f$ 没有零点;

(2) $z\in \p D\ra f(z)\in \p D$;

(3) $z_0$ 是 $f$ 的一阶极点.

证明: $$\bex \exists\ \tt\in \bbR,\st f(z)=e^{i\tt}\cfrac{1-\bar z_0z}{z-z_0}. \eex$$

证明: 记 $$\bex \phi(\zeta)=\cfrac{z_0-\zeta}{1-\bar z_0\zeta},\quad F=f\circ \phi, \eex$$ 则 $\phi^{-1}=\phi$. 由 (1) 及 (3), $\cfrac{1}{F(\zeta)}$ 在 $D$ 内解析, 且以 $0$ 为一阶零点. 再据 (2) 及边界对应定理, $\cfrac{1}{F(z)}:D\to D$. 由 Schwarz 引理 (及其证明), $$\beex \bea \exists\ \tt\in\bbR,\st \cfrac{1}{F(\zeta)}&=e^{-i(\tt+\pi)}\zeta,\\ f(\phi(\zeta))&=e^{-i(\tt+\pi)}\cfrac{1}{\zeta},\\ f(z)&=e^{i(\tt+\pi)}\cfrac{1}{\phi(z)} =-e^{i\tt}\cfrac{1-\bar z_0z}{z_0-z} =e^{i\tt}\cfrac{1-\bar z_0z}{z-z_0}. \eea \eeex$$