四、树的应用

树的应用按考纲来看的话：
1.二叉排序树
2.堆结构
3.哈夫曼（Huffman）树和哈夫曼编码
而刚好这节课刚好都讲到了。
首先，先讲
二叉排序树
也叫二叉查找树/二叉搜索树 BST，Binary Search Tree
主要特性是：左<中<右
一些用的到的特殊函数：
①Position Find（Elemtype X，BinTree BST）
//查找值为X的位置，返回地址
这里用尾递归（可用循环实现），其查找效率取决于树的高度，当出现斜二叉树时是效率很差的情况。解决方法：平衡二叉树（后面讲）
②Position FindMin（BinTree BST）
主要实现是不断往左递归（循环也可实现）
③Position FindMax（BinTree BST）
往右不断递归
④BinTree Insert（Elemtype X，BinTree BST）
//插入,注意仍保持二叉排序树的特性：左<中<右
eg 十二个月份按字典序插入
eg BST->Right = Insert（X，BST->Right）;
例子中递归返回的树妖赋值给其右子树，即记录下插入位置
⑤BinTree Delete（Elemtype X，BinTree BST）
//删除比较麻烦，先查找后删除，根据结点不同分三种情况
（1）删叶结点
（2）有一个儿子的结点：让父亲->孙子
（3）有左右两个儿子的结点：两种方案实现，一是 右子树找个最小的来代替，并记得再递归删掉那个结点；二是 左子树里找个最大的来代替，并递归删掉那个结点。
因为是最值，一定只有一个儿子，可以转至（2）（1）。
例子中和插入一样，删除的位置要记录，因此
BST->Right = Insert（X，BST->Right）;有类似这样的表示

平衡二叉树
AVL树 Balanced Binary Tree
上面说到我么为了提高查找效率，引入平衡二叉树的概念，其根本是为了降低树的高度，最好是降到log2N。
因此我们让左右结点、高度相差尽量低。
引入平衡因子balance fator的概念BF(T)=h左-h右
对每个结点，注意是每个BF的绝对值<=1，或本身是个空树即是AVL树。
高度为h的AVL树最少有几个结点呢？列举可以发现一个规律n（h）=n（h-1）+n（h-2）+1，我们想到斐波那契数列，因此算出nh的值，得出其复杂度。
n个结点AVL树的查找效率是log2n。
AVL树的调整
我们要将不平衡->平衡，本质还是个二叉排序树，注意保持左<中<右的特点成立
这里算个难点，分为四种
1.右单旋（RR旋转） 麻烦结点在右子树的右子树的下面（接在左右都可）
2.左单旋（LL旋转）麻烦结点在左子树的左子树的下面
3.LR旋转 麻烦结点在左子树的右子树的下面
4.RL旋转 麻烦结点在右子树的左子树的下面

堆
CPU在处理时，肯定不能按时间顺序处理，而是按优先顺序处理，怎么体现这个优先队列（按优先权大小顺序取出）呢，就是用堆。
存储方式决定了执行效率，假设分别按下面几种存储结构来存储，他们的时间复杂度分别如下所示：
数组：插入O（1）查找O（1）删除O（n）
链表：插入O（1）查找O（n）删除O（1）
有序数组：查找O（n）或O（logn）插入O（n）删除O（1）
有序链表：查找O（n）插入O（1）删除O（n）
树：二叉搜索树，效率很高，但一直删除最值后，导致树倾斜，效率明显下降
我们重点关注删除的复杂度。
最大堆
始终注意两点
1.结构性：数组表示成完全二叉树
2.有序性：任一结点的关键字是其子树的所有结点的最大（小）值
最大堆Maxheap/大顶堆
最小堆Minheap/大顶堆
其结构体如下

 struct HeapStruct{
 Elemtype *Elements;
 int Size;
 int Capacity;
  }

操作上主要有：
建堆
判满
判空
插入
1.若不满，插入到Size+1的位置，先保证其完全二叉树结构
2.保证其有序性，与父结点比较，换位置，即[i/2]与[i]循环比较
删除
1.先用最后元素替补最大值位置，先保证其完全二叉树结构
2.保证其有序性，比较左右儿子，与大的换位置，循环比较
时间复杂度为logn
最大堆的建立
法1.一个个插入 O（logn）
法2.在线性时间复杂度下建①N个形成二叉树②先保证有序性再调整（注意是从下往上调，从后往前调，直至整个最大堆完成）

哈夫曼树
最优二叉树/WPL最小的二叉树
查找效率：出现比例*比较次数
目的：构造效率最好的搜索树
WPL带权路径长度：∑Wk·Lk
其中带权值Wk，根结点到每个叶结点的长度Lk

typedef struct TreeNode *HuffmanTree;
 struct TreeNode {
 int Weight;
 HuffmanTree Left，Right;
  }

构造方法
循环将权值最小的两个形成二叉树
选取两个最小值可使用刚讲过的堆来实现（排序也可实现，但效率低）
复杂度O（nlogn）
哈夫曼树的特点：
①没有n为1的结点
②n个叶结点，共有2n-1个结点
③左右子树交换仍未哈夫曼树
④同一权值可能有不同构的哈夫曼树，但最优化值一样
哈夫曼编码
一段字符串，要使存储空间最少
eg ASCII 588=464位
实际只有8种字符的话 583=174位即可
还能更少，让出现频率高的字符占用更少的空间
即不等长编码
关键是避免二义性，让根结点不成为子结点的前缀码
把二叉树用于编码，构造出代价最小的二叉树，即哈夫曼树

集合
主要涉及 交、并、补、差、判定属于
没怎么认真听

思考：

1. 关于AVL树的调整，感觉自己只是知其然，大概知道怎么调整，不知道考试的深度是怎么样，考的有多细，mark下吧，过下一遍再看下
2. 老师给的讨论题 AVL树能否用两边的结点树差来定义呢？貌似挺复杂的，大家可以想一想
3. 树与森林部分是否和集合类似？后续会补充这方面内容。