金融时序序列3 - 平稳性检测

3.1 基础 - 时间序列建模

我们从基础开始吧。 这包括平稳序列，随机散步，Rho系数，Dickey Fuller Test of Stationarity。 如果这些术语已经吓到你了，别担心 - 他们会变得清楚一点，我敢打赌，你会开始享受这个话题，我会解释一下。

3.1.1 平稳序列

一系列为平稳序列的三个基本标准：

• 系列的平均值不应该是时间的一个函数，而应该是一个常数。 下面的图像具有满足条件的左手图，而红色的图具有时间依赖平均值。

  
  
  

  均值

• 序列的方差不应该是时间的函数。 这个属性被称为同方差。 以下图表描述了什么是什么，什么不是固定系列。 （注意右侧图中分布的变化差异）

  
  
  

  同方差和异方差

• 第i项和第（i + m）项的协方差不应该是时间的函数。 在下图中，您将注意到随着时间的增加，这种差距越来越近。 因此，“红色系列”的协方差与时间不一致。

  
  
  

  协方差

３.1.2 为什么我关心时间序列的“平稳性”？

我首先介绍这个部分的原因是，除非你的时间序列是静止的，否则你不能建立一个时间序列模型。 在违反固定标准的情况下，首先必须对时间序列进行平化，然后尝试随机模型来预测该时间序列。 有多种方式使这种稳定性。

3.1.3 随机走

这是时间序列中最基本的概念。 你可能会很了解这个概念。 但是，我发现很多业内人士将随机游走解释为一个固定的过程。 在这部分借助于一些数学，我将使这个概念永远清晰。 我们来举个例子。
示例：想象一个女孩随意移动到一个巨型棋盘上。 在这种情况下，女孩的下一个位置只取决于最后的位置。

现在想象，你坐在另一个房间里，看不到那个女孩。 你想预测一下女孩的位置。 你会有多准确？ 当然，随着女孩的位置变化，你会变得越来越不准确。 在t = 0，你确切知道女孩在哪里。 下一次，她只能移动到8个正方形，因此你的概率会下降到1/8而不是1，而且会持续下降。 现在我们来试一下这个系列：

X（t）= X（t-1）+ Er（t） 

其中Er（t）是时间点t处的误差。 这是女孩在每个时间点带来的随机性。
现在，如果我们递归地适应所有的X，我们将终于得到以下等式：

X（t）= X（0）+ Sum（Er（1），Er（2），Er（3）..... Er（t）） 

现在，让我们尝试验证我们对这个随机游走公式的固定系列的假设：
平均值是常数吗？

E [X（t）] = E [X（0）] + Sum（E [Er（1）]，E [Er（2）]，E [Er（3t））]） 

我们知道任何错误的期望将为零，因为它是随机的
因此，我们得到E [X（t）] = E [X（0）] =常数。
方差是否恒定？

Var [Er（2）]，Var [Er（3）] ... Var [X（t）] = Var [X（0）] + Sum（Var [Er（t））]） 
Var [X（t）] = t * Var（Error）=时间依赖。

因此，我们推断随机游走不是一个固定的过程，因为它具有时变方差。 另外，如果我们检查协方差，我们也看到这也取决于时间

3.2 引入系数

我们已经知道随机游走是一个非平稳的过程。 让我们在方程中引入一个新的系数，看是否可以使方程平稳。

3.2.1 引入系数：Rho

 X（t）= Rho * X（t-1）+ Er（t）

现在，我们将

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改变Rho的价值，看看我们能不能使序列稳定下来。 在这里，我们将视觉上解释分散，而不是做任何检查平稳性的测试。
我们从Rho = 0开始一个完全固定的系列。 这是时间序列的情节：

将Rho的值增加到0.5给出如下图：

您可能会注意到我们的周期变得更广泛，但基本上似乎并不是严重违反固定假设。 现在我们来讨论一个更极端的Rho = 0.9的情况

我们仍然看到X在一段时间后从极值返回到零。 这个系列也没有显着地违反非平稳性。 现在，我们来看看rho = 1的随机游走。

这显然是违规的。 什么使rho = 1在一个固定测试中出现的特殊情况？ 我们会找到数学原因。
让我们对方程“X（t）= Rho * X（t-1）+ Er（t）”的两边采取期望。

 E [X（t）] = Rho * E [X（t-1）] 

例如，如果X（t-1）= 1，E [X（t）] = 0.5（Rho = 0.5）。 现在，如果X从0移动到任何方向，则在下一步中将其拉回到零。 唯一可以驱动它的组件是错误的术语。 错误术语同样可能在任何一个方向。 当Rho变为1时会发生什么？ 没有力量可以在下一步中拉下X。

3.2.Augmented Dickey–Fuller test 扩展迪基-福勒检验

这是检查平稳度的统计测试之一。 这里的零假设是TS是非平稳的。 测试结果包括测试统计和一些不确定性水平的临界值。 如果“测试统计”小于“临界值”，我们可以拒绝零假设，并说系列是的。可以看出这里的拒绝域是{u

1. 测试值高于临界值，那么存在单位根，接受H0，非平稳时间序列
2. 测试值小于临界值，那么拒绝H0，接受H1，没有单位根，平稳时间序列
   python中可使用现成的工具statsmodels来实现adf检验

dw["ret"] = dw['close'].diff(1)
dw["log"] = np.log(dw['close']).diff(1)
dw.dropna(inplace=True)

result = sts.adfuller(dw["ret"].values, 1)

adf：float
     检验统计
p值：float
     MacKinnon基于MacKinnon（1994）的近似p值
usedlag：int
     使用的滞后数
nobs：int
     用于ADF回归和计算的观察数
     临界值。
临界值：dict
     1％，5％和10％的检验统计量的关键值
    水平。 基于MacKinnon（2010）
icbest：float
     自动标记不是无最大信息标准。

(-13.348425690372366, 
5.7325941497185636e-25, 
0, 
142,
 {'5%': -2.8821181874544233, '1%': -3.4772616240489951, '10%': -2.5777431104939494},
165.84438279201979)

3.3 定阶

简单的理解就是找到时间序列的周期，比如说气温这一项，就有明显的年度周期性，前几年的同期数据对预测当年的气温有极大的参考意义。
从统计学上讲就是寻找是得ACF（样本自相关系数）最大的时间间隔。
常用定阶方法是ACF和PACF。