高等代数理论基础23：矩阵的秩

矩阵的秩

矩阵的秩

定义：矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩,矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩

引理：若齐次线性方程组的系数矩阵

的行秩则它有非零解

证明：

定理：矩阵的行秩与列秩相等

证明：

定理：矩阵的行列式为零A的秩小于n

证明：

推论：齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数矩阵的行列式等于零

子式

定义：在一个矩阵A中任意选定k行和k列,位于这些选定的行和列的交点上的个元素按原来的次序所组成的k级行列式称为A的一个k级子式

注：

定理：一矩阵的秩是r的充要条件为矩阵中有一个r级子式不为零,同时所有r+1级子式全为零

证明：

注：

1.矩阵A的秩r的充要条件为A有一个r级子式不为零

2.矩阵A的秩r的充要条件为A的所有r+1级子式全为零

3.在秩为r的矩阵中,不为零的r级子式所在的行正是它行向量组的一个极大线性无关组,所在的列正是它列向量组的一个极大线性无关组

计算矩阵的秩

注：初等行变换初等列变换不改变矩阵的秩

阶梯形矩阵的秩就等于其中非零行的数目

证明：

其中