数据结构与算法的基本认识

数据结构概述

1. 数据结构：是相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合

2. 数据：描述客观事物的符号，能被计算机识别并操作的对象，能输入到计算机中进行处理的符号集合

3. 数据元素：组成数据的基本单位，通常作为整体处理，也称为记录(着眼点)

4. 数据项：一个数据元素可以由若干个数据项组成(最小单位，不能再分割)

5. 数据对象：性质相同(即相同数量和类型的数据项)的数据元素的集合，是数据的子集

6. 建模：建立模型，为了理解事物而对事物做出的一种抽象，是对事物的一种无歧义的书面描述

7. 逻辑结构：指数据对象中数据元素之间的相互关系，针对具体问题来选择合适的数据结构表示数据元素之间的逻辑关系，有以下几种：

   • 集合结构：数据元素同属于一个集合
   • 线性结构：一对一的关系
   • 树形结构：一对多的层次关系
   • 图形结构：多对多的关系

8. 存储结构(物理结构)：数据的逻辑结构在计算机中的存储形式，有两种形式：

   • 顺序存储结构：把数据元素存放在地址连续的存储单元里
   • 链式存储结构：通过指针存放在任意的存储单元里，可以连续或不连续,更为灵活

9. 数据类型：一组性质相同的值的集合及定义在这集合上的一些操作的总称，以C为例，分两类：

   • 原子类型：不能再分解的基本类型，包括整型、实型、字符型等
   • 结构类型：由若干个类型组合而成，可以再分解，比如整型数组等

10. 抽象：抽取出事物具有的普遍性的本质(隐藏了繁杂的细节，只保留实现目标所必须的信息)

11. 抽象数据类型(ADT)：指一个数学模型及定义在该模型上的一组操作(取决于它的一组逻辑特性)；一个抽象数据类型定义了：一个数据对象、数据对象中各数据元素之间的关系及对数据元素的操作，它体现了程序设计中问题分解、抽象和信息隐藏的特性

算法概述

1. 算法：解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，每条指令表示一个或多个操作

2. 好算法例子：实现n的累加 sum=(1 + n) * n / 2

3. 基本特性：

   • 输入输出：可以有多个输入(0个也可), 但至少会有一个输出
   • 有穷性：执行了有限步骤后会自动结束而不是无限循环，每个步骤的时间合理
   • 确定性：每一步骤对具有确定的含义，不会出现二义性
   • 可行性：每一步都能够通过执行有限次数完成

4. 算法设计应遵循：

   • 正确性：能正确够处理无歧义、反映出有效问题的需求，得到满足要求的结果
   • 可读性：便于阅读、理解和交流
   • 健壮性：当输入数据不合法时可以对其进行处理(得出满足规格说明的结果)
   • 高效率低存储：尽可能满足时间效率高、存储量低

5. 算法效率的度量方法：

   • 事后统计法：通过有计时功能的测试程序算出时间并进行比较，从而确定算法效率的高低 (不推荐)
   • 事前分析估算法：依据统计方法对算法进行估算，即f(x)=y, 依赖于算法好坏(f)和问题输入规模(x)

6. 函数的渐进增长：给定两个函数f(n)和g(n)，如果存在一个整数N，使得对于所有的n > N，f(n)总是比g(n)大，那么我们说f(n)的渐进增长快于g(n)

7. 判断一个算法的效率时，函数中的常数和次要项可以忽略，关注点是主项(最高阶项)的阶数

8. 算法时间复杂度：即算法的时间量度，表达式为T(n)=O(f(n))，随着问题规模n的扩大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐进时间复杂度(简称时间复杂度)，O()为大O记法

9. 推导大O阶方法：用1取代所有常数；只保留最高阶项；去除与这个项相乘的常数(若存在最高阶且不是1)

10. 常见时间复杂度：

    • 常数阶：O(1)，执行时间恒定的算法；单纯的分支结构的时间复杂度为O(1)
    • 线性阶：O(n)，分析循环结构的运行情况
    • 对数阶：O(logn)，也常在循环中见；例如5log2n+20
    • 平方阶：O(n²)，如2n²+3n+1
    • 还有立方阶、nlogn阶、指数阶

11. 由小到大比较：O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n²) < O(n³) < O(2^n) < O(n!) < O(n^n)

12. 最坏情况运行时间：即保底运行时间，一般所说的运行时间都是指最坏情况的运行时间；平均运行时间：即期望的运行时间，需要通过一定的估算

13. 算法空间复杂度：表达式为S(n)=O(f(n)), f(n)是关于n所占存储空间的函数；若所需的辅助空间对于输入数据量而言是个常数，则称此为原地工作，空间复杂度为O(1)