列向量与行向量做加减运算的“幕后真凶”：Broadcasting

根据网上关于广播机制^[1]的介绍，能了解到何时numpy会运行Broadcasting机制^[2]。关于具体如何扩展两个矩阵维数并未展开叙述。本文将做对此进行补充，可将Broadcasting就是在其余层数相同的情况下，将低层向高层扩展成两个等大的ndarray进行运算作为结论，以下为具体分析过程。

维数不一致

手册^[2]中举例如下：

A      (2d array):  5 x 4
B      (1d array):      1
Result (2d array):  5 x 4

A      (2d array):  5 x 4
B      (1d array):      4
Result (2d array):  5 x 4

A      (4d array):  8 x 1 x 6 x 1
B      (3d array):      7 x 1 x 5
Result (4d array):  8 x 7 x 6 x 5

在这种情况下，低维向高位扩展。上述(5 x 4)与(1 x )运算时，可以看作B将唯一的元素填充在(5 x 4)矩阵中，然后与A矩阵做运算；对于(5 x 4)与(4 x )的情况，可以看作B将5个(1 x 4)的相同的向量按行拼接成(5 x 4)，然后与A矩阵做运算。此处需要留意第二种情况下，除了缺省维数（或者维数为1）另外的维数必须相同！
例子

x = np.array([1, 2, 3]) # 可视为(1 x 3)
# y = np.array([[0, 1], [1, 2]]) # 此时维数为(2 x 2)， 其中2与(1 x 3)中3不等，报错
# y = np.array([[0, 1], [1, 2], [2, 3]]) # 此时维数为(3 x 2)，其中2与(1 x 3)中3不等，报错
# y = np.array([[[0, 1, 2], [1, 2, 3]], # 此时维数为(2 x 2 x 3)，其中3与(1 x 3)中3相等，顺利运行
#               [[2, 3, 4], [3, 4, 5]]])
y = np.array([[0, 1, 2], [1, 2, 3]])
z1 = x + y
z2 = y + x
print("x shape:", x.shape)
print("x:", x)
print("y shape:", y.shape)
print("y:", y)
print("z1 shape:", z1.shape)
print("z1:", z1)
print("z2 shape:", z2.shape)
print("z2:", z2)

以下为输出结果

# outputs
x shape: (3,)
x: [1 2 3]
y shape: (2, 3)
y:
[[0 1 2]
 [1 2 3]]
z1 shape: (2, 3)
z1:
[[1 3 5]
 [2 4 6]]
z2 shape: (2, 3)
z2:
[[1 3 5]
 [2 4 6]]

维数一致

将维数不一致所给例子中x = np.array([1, 2, 3])改为x = np.array([[1, 2, 3]])即可得到维数相同的例子。
此时，更像是低层向高层扩展，一个直观的解释：将多个相同向量通过层数叠加变成一个矩阵。如果将维数不一致（维数缺省）的情况下将缺省维数作为1对待，则就转化成维数一致情况。因此，Broadcasting就是在其余层数相同的情况下，将低层向高层扩展成两个等大的ndarray进行运算。

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1. numpy 中的 broadcasting（广播）机制 ↩

2. Numpy手册：Broadcasting ↩ ↩