导数，微积分，牛顿运动学制作创意地图

大前端时代下，面向组件，面向数据编程已家常便饭，但是作为一个合格的程序员，优秀的逻辑思维和抽象能力是其最基本的素质。代码只是实现过程和编程功底的体现，更重要的是分析问题，建模实力，解决问题，才能实现技术创新，引领业务，改变世界

点击查看本文的第一个案例

一个优秀的程序员应该做到：

1. 观察归纳需求，抽象需求

2. 设计算法将需求数学化，建立合理的数学模型

3. 扎实的编程功底实现模型

我们首先归纳的应该有以下的细节：

1. 整个页面的动效交互只有滚动条触发

2. 两点之间是任意曲线，曲线的运动学是整个曲线方程的子集轨迹，也就是局部曲线

3. 由于滚动条有上下滚动两个方向，所以曲线的运动轨迹的长度随滚动条的高度成正比，即向下滚动，轨迹变长，向上滚动，轨迹变短，注意一点，轨迹长度的变化方向，和原曲线的方向一致

4. 飞机沿着曲线的运动轨迹而做曲线运动，注意一点，由于飞机是svg图片，而其运动轨迹是任意曲线，那么飞机的方向也必须跟随轨迹运动而实时变化，这一点非常重要！

5. 飞机在两点之间运动时，在该曲线的起点到1/2长度之间，飞机逐渐变大，在运动到超过1/2长度和自身长度之间，飞机又逐渐变小

6. 在曲线运动过程中，整个地图也发生运动，且地图的运动轨迹和当前时刻曲线的运动方向一致

7. 在滚动过程中，当左侧图文面板里出现图片，那么以飞机为三角形定点，左侧图片的上下两个点为三角形底边，作一个三角形光束照射在图片上，并且随着底边点的位置改变定点角度也随着变化

以上细节，是一个程序员最基本的观察力和对需求的归纳能力，那么接下来，开始动手编程？那是新手，接下来要做的应该是逐一分析技术算法细节，也是培养我们的建模能力

下面开始算法原理的分析：

1. 前端技术栈很明显，使用原生js和canvas技术就可以实现，这一点没什么可以说的

2. 曲线的制作可以利用三次贝塞尔方程（一切的计算都源于此方程）

三次贝塞尔曲线的参数方程

通过此方程，我们可以方便的求其偏导数以及任意时刻t对应的x和y值

3. 两点间一曲线，把一条曲线和4个点（绘制三次贝塞尔）抽象成一个类，这非常容易想到，而这个类里应封装基本的绘制方法，包含曲线、圆形点、飞机图形、三角形等，还应封装计算方法，包含根据任意时刻t计算相应的x和y值、根据任意x或y值反解出曲线对应的t值、求x和y的偏导数、求曲线上任意一点的斜率、求曲线的总长度

以上的分析依然很简单，只不过是oop和canvas的api的使用，接下来实际说明为什么需要封装这些计算方法

4. 绘制局部贝塞尔曲线：

我们知道使用canvas的api里bezierCurveTo(p0,p1,p2,p3)很容易画出一条完整的贝塞尔曲线，但是我们需要模拟的运动学，是沿着曲线做曲线运动，也就是需要绘制局部曲线，而canvas是没有给我们提供绘制任意局部曲线的api的，所以单纯依赖api是走不通的，我们需要从本质原理出发推理

我们知道两点可以组成一条直线，那么曲线呢？而任意一条线上有多少个点？不妨假设有n个点，那么如果这n个点的坐标不是线性的，那么将这n个点连接起来，就是一条完整的曲线，如果这n个点的坐标满足贝塞尔方程，那么组合起来就是一条完整的贝塞尔曲线

分析到这里，我们可以抽象出我们只要选择m个点(0=

而新问题紧接着产生，我们设滚动条滚动的距离为a，怎么去计算出a所对应的方程的x和y？

因为我们浏览器的屏幕是笛卡尔坐标系，我们绘制任意一个点需要知道点的x坐标和y坐标，所以我们很容易想到不妨用a去映射方程终点p3对应的x，那么我们只需要求出p3的y值即可完成终点的绘制。观察方程，我们不能直接利用x去求y，需要先求出p3.x对应的t值，才能用t去计算p3.y

已知任意时刻t的方程，P0，P1，P2，P3为四个点，其中P0和P3是起点和终点，P1和P2是控制点

曲线方程

我们已知曲线终点的Px，求Py，那么两边除以t的三次方，整理得：

化简一

设 m = (1 - t) / t，即可以整理出：

化简二

我们知道这是一个标准的三次方程，利用三次求根公式可以解出m进而求出t，那么带入t和另外三个点的y值就可以求出p3的y值

但是这并不是一个非常好的做法，因为考虑我们绘制的是任意曲线，方程图像如果存在以下这种情况：

一对多的情况

那么我们很难控制曲线到底应该画到第一个y值，还是第二个y值，所以综上分析，a去映射x求t来解y，会存在多解影响笛卡尔坐标绘制，故而正确的做法应该是用a去映射t，用t来解出x和y

那么问题继而转化为，a怎么去映射t？

我们可以容易的想到如果已知曲线的总长度L，用a和L的比率去计算局部dl，我们假设长度为L的曲线对应可视高度为H的值（当盒子完全被滚动条卷入，也就证明线走完了），可以得到dl = L / H * a，则此时此刻的t = dl / L (t 属于[0，1])

那么问题就转化为需要先求出任意曲线的长度L？

我们知道路程 = 速度 * 时间，基于微积分的思想，我们假设某个很小的时刻dt，存在速度dv，那么ds = dv * dt，最后我们对所有dt对应的ds进行求和，可以逼近曲线的总长度L（我们假设将曲线S划分为N段）

问题即又转化为怎么求速度？（这里指的是合速度）

很明显，我们需要对曲线方程对t进行求导，即得到其速度的方程式

求导过程非常简单（请复习高中复合函数求导）

速度方程

我们带入t求出两个方向的速度，很显然，一个是沿着x方向的速度vx，另一个是沿着y方向的速度vy，我们需要计算出二者产生的合力的速度v即可

根据平行四边形法则，我们知道v = (vx * vx + vy * vy) ^ 1/2，现在我们终于可以计算出曲线的长度L = ∑ v * dt，而a和H已知（单纯的网页dom计算，不题），我们就可以得到dl = L / H * a，最后得到t = dl / L，完成了a和t的映射关系

现在我们用a映射出t，并且可以保证t在0到1之间，根据t解出真正的x和y值，至此，我们终于可以画出局部曲线了

5. 局部曲线长度的动效变化：

当我们建立如何画局部曲线后，将要解决随着滚动条向上或向下滚动时候，局部曲线的长度变化过程。现在我们已经得到任一点的dt和该dt对应的x和y值，很显然想到利用canvas的LineTo(x, y)进行绘制连线即可

但是问题出现了，如果我们直接一步LineTo(x，y)到终点，会出现以下情况：

绘制成直线了

显然，我们不能一步就绘制起点和终点

那么问题又回到了绘制局部曲线的理论，我们将起点（dt = 0）和终点( dt = t)之间构造出N个dt，利用微分的思想绘制可以很方便的绘制出这段曲线

绘制真正的曲线

这段代码请自行感悟

绘制曲线的流程

至此我们只要知道a对应的dt，利用微分思想，就可以绘制任意方向的局部曲线动效

6. 飞机做曲线运动，且随着曲线方向实时旋转方向：

我们飞机是svg矢量图，利用canvas的drawImage非常容易绘制出飞机，但是问题是计算机是不知道飞机的机头要跟随其运动的方向旋绕，这是我们的所常识决定的，所以我们要利用计算机仿真这个常识

单纯的绘制飞机svg（不符合常识）

我们观察很容易发现飞机的旋转是沿着运动轨迹的切线方向，其正负值由运动方向决定，如果我们知道任意时刻dt的曲线切线与水平轴的夹角d，那么利用canvas的rotate(d)就可以改变飞机的旋转角度，并且保证其旋转的角度和曲线相切，就可以模仿这个常识

问题就抽象出计算曲线任意时刻dt的切线与水平轴的夹角？

计算切线，其实就是求导，而我们之前就已经计算好dt对应的两个方向的偏导数方程式，这里只需要计算两个运动方向的夹角即可，我们利用arctan vy / vx 就可以计算出该时刻切线与水平轴的夹角

计算切线角度后实时旋转

7. 飞机在运动过程中的大小变化

这一步就非常简单了，我们已知飞机的运动过程由t决定，而t在[0，1]之间，我们利用canvas的scale让飞机运动在[0，1/2 * L]的时候从0到1放大，在运动的[1/2 * L，L]的时候从1到0缩小即可

那么问题就抽象成构造一个分段函数去计算scale的值

利用初中数学很容易构造出该分段函数

分段函数计算缩放

至此我们就可以用[0,1]去映射[0,1]变化到[1,0]，完成飞机运动的缩放

8. 剩下基本是canvas的知识运用了，比如save和restore的结合，lineTo和moveTo的结合，渐变填充createLinearGradient等，都非常简单的纯api调用，这里就不题了

现在，需求归纳和技术原理，实现难点，数学模型都已经推理完，接下来的才到最后一步，编程实现，而这一步单纯考验读者原生JS，闭包，异步编程的功底，相比之前的算法分析，显得简单的太多了

最后我们可以从这个案例总结出几点：

1. 一个优秀的程序员可以抽象出整个世界

2. 优秀的数学功底，很多本质上的原理，都是数学原理的实际运用

3. 算法永远是编程的灵魂，编程只是实现，算法是先驱，也是核心大脑