高等代数理论基础29：矩阵的逆

矩阵的逆

可逆

定义：给定n级方阵A,若有n级方阵B使得AB=BA=E,E为n级单位矩阵,则称A可逆

注：

1.A必须为方阵

2.对于任意方阵A,满足条件的方阵B是唯一的

证明：

逆矩阵

定义：若方阵B满足AB=BA=E,则B称为A的逆矩阵,记作

伴随矩阵

定义：给定方阵

设是A中元素的代数余子式,

方阵称为A的伴随矩阵

注：

其中d=|A|

若,则

定理：方阵A可逆的充要条件是A非退化,且

证明：

注：

1.对于n级方阵A,B,若AB=E,则A,B都可逆,且互为逆矩阵

2.若,则

推论：若方阵A,B可逆,则A'与AB也可逆,且,

证明：

矩阵的逆与线性方程组

给定线性方程组

可写成

若,则A可逆,用代入上式可得恒等式,即是一个解

若是一个解,则由得,即

即解是唯一的

可逆矩阵与矩阵乘积的秩

定理：给定矩阵,若P是可逆矩阵,Q是可逆矩阵,则

证明：