警察与小偷博弈（博弈论的诡计）

某个小镇上只有一名警察，他负责整个镇的治安。现在我们假定，小镇的一头有一家酒馆，另一头有一家银行。再假定该地只有一个小偷。因为分身乏术，警察一次只能在一个地方巡逻；而小偷也只能去一个地方。若警察选择了小偷偷盗的地方巡逻，就能把小偷抓住；而如果小偷选择了没有警察巡逻的地方偷盗，就能够偷窃成功。假定银行需要保护的财产价格为2万元，酒馆的财产价格为1万元。警察怎么巡逻才能使效果最好?

 

 一种最容易被警察采用而且确实也更为常见的做法是，警察对银行进行巡逻。这样，警察可以保住2万元的财产不被偷窃。但是假如小偷去了酒馆，偷窃一定成功。这种做法是警察的最好做法吗？答案是否定的，因为我们完全可以通过博弈论的知识，对这种策略加以改进。

 

警察的一个最好的策略是，抽签决定去银行还是酒馆。因为银行的价值是酒馆的两倍，所以用两个签代表，比如抽到1、2号签去银行，抽到3号签去酒馆。这样警察有2/3的机会去银行进行巡逻，1/3的机会去酒馆。

 

而在这种情况下，小偷的最优策略是：以同样抽签的办法决定去银行还是去酒馆偷盗，与警察不同的是抽到1、2号签去酒馆，抽到3号签去银行。这样小偷有1/3的机会去银行，2/3的机会去酒馆。

 

警察与小偷之间的博弈，提供了混合策略的思路，但更形象的样板是“剪刀、石头、布”的游戏。在这样一个游戏中，不存在纯策略均衡。对每个小孩来说，出“剪刀”、“布”还是“石头”的策略应当是随机的，不能让对方知道自己的策略，甚至是策略的倾向性。一旦对方知道自己出某个策略的可能性增大，那么在游戏中输的可能性也就增大了。

 

还有一种常见的混合策略样板就是猜硬币游戏。比如在足球比赛开场，裁判将手中的硬币抛掷到空中，让双方队长猜硬币落下后朝上的是正面还是反面。由于硬币落下地的正反是随机的，概率都是1/2。那么，猜硬币游戏的参与者选择正反的概率都是1/2，这时博弈达到混合策略纳什均衡。

 

这一类博弈与囚徒困境博弈案例有一个很大的差别，就是没有纯策略纳什均衡点，只有混合策略均衡点。这个均衡点下的策略选择是每个参与者的最优(混合)策略选择。对混合策略的传统解释是，局中人应用一种随机方法来决定所选择的策略。

 

从警察和小偷的不同角度计算最佳混合策略，会得到一个有趣的共同点：同样的成功概率。也就是说，警察若采用自己的最佳混合策略，就能将小偷的成功概率(5/9，收益为2*1/9+1*4/9=6/9)拉到他采用自己的最佳混合策略所能达到的成功概率(4/9，收益为2*2/9+1*2/9=6/9)。

 

这并非巧合，而是两个选手的利益严格对立的所有博弈的一个共同点。这个结果称为“最小最大定理”，由数学家约翰·冯·诺伊曼(John Von Neumann)创立。这一定理指出，在二人零和博弈中。参与者的利益严格相反(一人所得等于另一人所失)，每个参与者尽量使对手的最大收益最小化，而他的对手则努力使自己的最小收益最大化。他们这样做的时候，会出现一个令人惊讶的结果，即最大收益的最小值(最小最大收益)等于最小收益的最大值(最大最小收益)。双方都没办法改善自己的收益，因此这些策略形成这个博弈的一个均衡。最小最大定理的证明相当复杂，不过，其结论却很实用。假如你想知道的只不过是一个选手之得或者另一个选手之失。你只要计算其中一个选手的最佳混合策略并得出结果就行了。

 

所有混合策略的均衡具有一个共同点：每个参与者并不在意自己的任何具体策略。一旦有必要采取混合策略，找出你自己的策略的方法，就是让对手觉得他们的任何策略对你的下一步都没有影响。

 

这听上去像是朝向混沌无为的一种倒退，其实不然。因为它正好符合零和博弈的随机化动机：一方面要发现对手任何有规则的行为，并相应采取行动。假如他们确实倾向于采取某一种特别的行动，这只能表示他们选择了最糟糕的策略。反过来，也要避免一切会被对方占便宜的模式，坚持自己的最佳混合策略。

 

因此，采取混合或者随机策略，并不等同于毫无策略地“瞎出”，这里面仍然有很强的策略性。其基本要点在于，运用偶然性防止别人发现你的有规则行为并占你的便宜。

 

在传统政治中，有所谓“君臣一日而百战”的说法，来形容国君与大臣之间博弈的激烈程度。因为激烈，所以其层出不穷的招式，给博弈论的研究提供了丰富的案例。

 

《吕氏春秋》中记载了这样一个故事。战国时，宋康王极端变态，整天喝酒，异常暴虐。凡群臣中有来劝谏的，都被他找理由撤职或者关押起来。臣下也因此对他更加反感，经常非议他。他十分苦恼地对宰相唐鞅说：“我处罚的人很多了，但是大臣们越发不畏惧我，这是什么原因呢7”唐鞅说：“您所治罪的，都是一些犯了法的人。惩罚他们，没有犯法的好人当然不会害怕。如果您要让您的臣子们害怕，就必须不区分好人坏人，也不管他犯法没有犯法，随便抓住就治罪。这样的话，大臣们就知道害怕了。”

 

唐鞅提出的这个建议，虽然缺德了一些，但却不能不说是深刻地把握住了混合策略博弈的精髓之处。能够预测的惩罚，大臣总会想方设法地加以规避，而无法预测的惩罚，却是防不胜防的，因而也是更令人心惊胆战的。

 

宋康王也是个聪明人，听了这个主意以后恍然大悟，深深地点了点头。不久，他就下令把唐鞅杀了，大臣们果然十分害怕，每天上朝时都战战兢兢不敢多说一句话。