[Coursera][计算导论与C语言基础][Week 10]对于“数组应用练习”课后习题的思考题的一些想法

（首先，关于Honor Code，我咨询过了Help Center，分享课后练习的思考题的想法是可以的（注意不是代码），但要标明引用，引用格式来源于https://guides.lib.monash.edu/citing-referencing/apa-university-course-materials。）

北京大学（Producer）. (2019) . 计算导论与C语言基础[Coursera] . Retrieved from https://www.coursera.org/learn/jisuanji-biancheng/programming/eWlOp/shu-zu-ying-yong-lian-xi

题目1：循环移动

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描述

　　给定一组整数，要求利用数组把这组数保存起来，再利用实现对数组中的数循环移动。假定共有n个整数，则要使前面各数顺序向后移m个位置，并使最后m各数变为最前面的m各数。

　　注意，不要用先输出后m个数，再输出前n-m个数的方法实现，也不要用两个数组的方式实现。

　　要求只用一个数组的方式实现，一定要保证在输出结果时，输出的顺序和数组中数的顺序是一致的。

输入

　　输入有两行：第一行包含一个正整数n和一个正整数m，第二行包含n个正整数。每两个正整数中间用一个空格分开。

输出

　　输出有一行：经过循环移动后数组中整数的顺序依次输出，每两个整数之间用空格分隔。

样例输入

11 4

15 3 76 67 84 87 13 67 45 34 45

样例输出

67 45 34 45 15 3 76 67 84 87 13

提示

　　这是一道经典的算法问题，在企业面试里出现概率很高。除了循环m次每次移动一个数以外（这样需要对数组操作m*n次），你还能想到更高效的算法吗（只用操作3*n次）？依然要求不使用额外数组，在原数组上移位之后顺序输出。

想法：

　　思路1：

　　　　其实最简单的想法，比循环m次每次移动一个数，更容易想到的方法就是扩大存储数的数组大小，但这个时候，就要操作$2n-m$次，空间复杂度就要变成$O(m+n)$，当$m$很大的时候就很不划算了。

　　思路2：

　　　　其实关键的问题在于我们移动位置的时候，没有空位，所以一个想法就是制造一个空位，在存储数的数组最后加一位，然后每次对空位操作，将空位前$m+1$的数移过来，直到数组第0位为空位。（说实话，程序编出来，尝试了几组数据可行，感觉也是可行，但证明的时候，就不行了。）

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题目2：中位数

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描述

　　中位数定义：一组数据按从小到大的顺序依次排列，处在中间位置的一个数或最中间两个数据的平均值（如果这组数的个数为奇数，则中位数为位于中间位置的那个数；如果这组数的个数为偶数，则中位数是位于中间位置的两个数的平均值）.

　　给出一组无序整数，求出中位数，如果求最中间两个数的平均数，向下取整即可（不需要使用浮点数）

输入

　　该程序包含多组测试数据，每一组测试数据的第一行为N，代表该组测试数据包含的数据个数，1 <= N <= 15000.

　　接着N行为N个数据的输入，N=0时结束输入

输出

　　输出中位数，每一组测试数据输出一行

样例输入

4

10

30

20

40

3

40

30

50

4

1

2

3

4

0

样例输出

25

40

2

提示

　　这是也一道经典的算法问题，在企业面试里出现概率很高，是“找到第K大的数”的变种。先排序再找中位数自然是很直接的做法，但排序本身很慢。我们只想找到第n/2大的数，对于其他数的顺序我们并不关心。那么怎么在不排序的前提下找到第n/2大的数呢？

想法

　　我们直接讨论“找到第K大的数”。

　　思路1：

　　　　咨询了一下NOI银牌（目前），金牌（必定）选手#YZZX_hhr#，他跟我说这个问题其实等价于找“K个最大的数”，所以一个比较显然的算法，就是每次对整个数组访问一遍，找到最大的数，然后挑出来。然后从挑出来的数中找到最小的（这个可以通过一个变量，存储当前挑出来的数中最小的来实现）。时间复杂度在$O(kn)$，当$k$比较大的时候，比如$k>log(n)$时，就不如排序了。

　　思路2：

　　　　也是hhr给的想法，二分，先扫一遍，找到最大，最小，然后二分，显然时间复杂度$O(n*log(n))$，跟排序差不多。

　　思路3：

　　　　据hhr所言，这个有线性算法，但非常复杂，叫严格线性快速选择，据说有相关论文，没找到。

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题目3：校门外的树

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描述

　　某校大门外长度为L的马路上有一排树，每两棵相邻的树之间的间隔都是1米。我们可以把马路看成一个数轴，马路的一端在数轴0的位置，另一端在L的位置；数轴上的每个整数点，即0，1，2，……，L，都种有一棵树。

　　马路上有一些区域要用来建地铁，这些区域用它们在数轴上的起始点和终止点表示。已知任一区域的起始点和终止点的坐标都是整数，区域之间可能有重合的部分。现在要把这些区域中的树（包括区域端点处的两棵树）移走。你的任务是计算将这些树都移走后，马路上还有多少棵树。

输入

　　输入的第一行有两个整数L（1 <= L <= 10000）和 M（1 <= M <= 100），L代表马路的长度，M代表区域的数目，L和M之间用一个空格隔开。接下来的M行每行包含两个不同的整数，用一个空格隔开，表示一个区域的起始点和终止点的坐标。

输出

　　输出包括一行，这一行只包含一个整数，表示马路上剩余的树的数目。

样例输入

第一组

500 3

150 300

100 200

470 471

第二组

500 3

100 200

150 160

180 190

样例输出

第一组

298

第二组

400

提示

　　由于数据范围不大（L<=10000），我们可以使用一个10001长度的数组来记录每一个坐标上有没有树。但想象一下如果数据范围很大，比如下面这个情况，你怎么办呢？

输入

 

5000000 3

1500000 3000000

1000000 2000000

4700000 4700001

输出

2999998

 

 想法：

　　这道题就很经典了。

　　思路1：

　　　　其实我最开始的想法是线段树。。。后来想想没必要那么复杂。

　　思路2：

　　　　其实这道题的一个改进就是，原本用一个长度为L的数组记录每个位置被访问（就是被区间覆盖的次数），每次给定区间，不仅要遍历每一个元素，而且还占空间，所以这里我们使用差分法，就是构建一个新的数组，其中每一项是原本那个长度为L的数组的对应项减去前一项的值。这个时候给定区间后，只要在起点+1，在终点后一位-1就行了。注意，此时如果想从新数组恢复到原数组，只要一个for循环，边遍历边累加，每个位置累加的值就是原数组对应项的值。

　　思路3：

　　　　思路2还有一个问题就是如果L太大，并且区间的覆盖很稀疏，这个时候不仅浪费，而且可能开不了这么大的数组，所以一个优化就是：先读进所有的区间，然后进行离散，即对0，L，和所有区间的起点，终点进行升序排序，然后将他们重新对应新的数字（如1,5,2000 -> 1,2,3），这个时候只要至多$2M+2$的空间就够了，然后统计的时候，复原即可。