二分查找真的那么简单吗？——算法第二章上机实践报告

一、        实践题目

改写二分搜索算法 (20 分)

题目来源：《计算机算法设计与分析》，王晓东

设a[0:n-1]是已排好序的数组，请改写二分搜索算法，使得当x不在数组中时，返回小于x的最大元素位置i和大于x的最小元素位置j。当搜索元素在数组中时，i和j相同，均为x在数组中的位置。

输入格式:

输入有两行：

第一行是n值和x值； 第二行是n个不相同的整数组成的非降序序列，每个整数之间以空格分隔。

输出格式:

输出小于x的最大元素的最大下标i和大于x的最小元素的最小下标j。当搜索元素在数组中时，i和j相同。 提示：若x小于全部数值，则输出：-1 0 若x大于全部数值，则输出：n-1的值 n的值

输入样例:

在这里给出一组输入。例如：

6 5

2 4 6 8 10 12

输出样例:

在这里给出相应的输出。例如：

1 2

 

二、        问题描述

对二分搜索算法改进，已知是已经排好序的数组，对于输入的数据x，通过改进后的二分搜索算法，先判断x是比给定数组大（在数组右边）还是小（在数组左边），还是大小位于数组内，若在数组中有x则输出x所在数组下标否则输出比x小的最大数字的下标和比x大的最小数字的下标。

二分搜索可以找到x在数组中的数组下标，只要改进它，使之能够在x不在数组里的情况下得到结果就可以了。

 

三、        算法描述

1、  if(x

    else if(x>a[n-1]) cout<

    else BinarySearch(a,x,n);

 

判断x是大于数组最大还是小于数组最小，若位于中间，调用改进的二分搜索算法

 

2、二分搜索（改进）

 

void BinarySearch(int a[],int x,int n){

    int left = 0;

    int right = n-1;

    int flag=0;

    while (left <= right){

        int middle = (left+right)/2;

        if (x == a[middle]){

            cout<

            return ;

        }

        if (x > a[middle]){

            left = middle+1;

        }

        else {

            right = middle-1;

        }

    }

    if(a[left]>x) cout<

    else if(x>a[left]) cout<

    return;

}

 

取数组两端数字left，right，当left小于right时即数组存在且不止一个元素，循环求得数组中间得数字（中位数，已排序），如果该中间得数字是x，那么直接输出x的小标，否则缩小范围（一半一半地缩，若x大于中间数，那么递归调用该函数，范围改成中间数到right，反之调用范围为left到中间数的该二分算法）；

因为是已排好序的数组，如果x不在数组中，那么x在数组中左右两边的数字就是所要求的答案。所以当二分算法停止时，只需比较目前“left”的那个数字和x的大小就能确定比x大的最小数和比x小的最大数的数组下标。若left大于x那么那两个数为left和left-1，反之为left和left+1。

 

四、        算法时间及空间复杂度分析

 

void BinarySearch (int a[],int x,int n){

    int left = 0;

    int right = n-1;

    int flag=0;

    while (left <= right){

        int middle = (left+right)/2;

        if (x == a[middle]){

            cout<

            return ;

        }

        if (x > a[middle]){

            left = middle+1;

        }

        else {

            right = middle-1;

        }

    }

    if(a[left]>x) cout<

    else if(x>a[left]) cout<

    return;

}

 

二分搜索算法时间复杂度分析：

假设数据的规模为N(即每次调用时的right-left)，程序执行的比较次数表示为C(N)，假设程序查找的是一个不存在的数据，则此时执行的次数是最多的：

 

执行第一次时有：  （1代表执行一次x和a[middle]的比较，(N/2)代表下一次调用该算法时right-left的值，即新的数据规模每次少一半）

 

假定总共有n个元素，那么二分后每次查找的区间大小就是n，n/2，n/4，…，n/2^k（接下来操作元素的剩余个数），其中k就是循环的次数。最坏的情况是K次二分之后,最后分下来每个区间的大小为1,才找到想要的元素。

令n/2^k=1

可得k=log2n,（是以2为底，n的对数），所以时间复杂度可以表示O()=O(logn)

 

二分搜索算法空间复杂度分析：

使用的是迭代的算法，在原来的数组上动手，循环改变该数组的范围，没有申请其他的辅助空间，所以空间复杂度是常数级别的，为O(1)。

 

五、        心得体会

打出一个二分搜索的代码并不难，是很简单很基础的算法，这道题难在改进上。要发现规律：如果x不在数组中时，小于x的最大数和大于x的最小数就是二分最后指向的元素和它的左边或者右边，因为数组为有序序列。一开始打好了二分搜索的框架，然后分好情况了，想到这个并实现花了点时间，而且一开始打的代码特别复杂，其实很多地方都是啰嗦重复操作，在老师的提醒下删掉一些没用的代码，改进后特别清爽。

所以打出代码其实不难，难在思考解决问题的方法上。还有打完代码后要多看几遍自己打的代码，分析清楚每一行每一步是在干嘛，有什么变化和用处，连自己都看得晕晕的就是不好的解决方法，那样才能改进并简化第一次打出来的代码。