和朋友玩博弈游戏的时候，像象棋，五子棋，总是希望自己的能够掌握什么秘诀，以至于有必胜的信心。然而，很多棋类是人的能力所不能寻求到必胜策略的。象棋，五子棋，黑白棋，斗兽棋，飞行棋，跳棋，……正是这些棋类的复杂性，人们掌握不了其必胜的法则，也使它们得以长久流传。


今天我们来讨论一类精心设计的，有必胜策略的，专门用来坑人的博弈小游戏！这种游戏有的很容易看出破绽，有的却坑人于无形之中。


第一个游戏：20颗石头摆成一排，A，B轮流从当中拿走1~3颗石头（A先拿），直到谁把最后的石头拿走了，则这个人判赢。请问谁会有必胜策略呢？

建议读者尝试自己先玩两盘，相信不久就会得出一些结论！事实上，后拿的人会有必胜策略。我们假定两人都从左往右拿。当第一个人拿i个时，第二个人只需拿4-i个，则两人共拿走4颗。继续维持这种局势，每轮两人都共拿走4颗，则最后一颗必然是后拿的人取走，先拿的人则输了。

扩展：当第一个游戏的石子增加到23颗时，谁有必胜策略？这时，先拿的人只需先将多出的三颗拿走，则自己变成了第一个游戏当中后拿的人，所以该游戏中先拿的人有必胜策略。

总结：N颗石头摆成一排，A，B轮流从当中拿走1~k颗石头（A先拿），直到谁把最后的石头拿走了，则这个人判赢。当N是k+1的倍数时，B有必胜策略。否则，A有必胜策略。


第二个游戏：N颗石头摆成一排，A，B轮流从当中拿走1~k颗石头（A先拿），直到谁把最后的石头拿走了，则这个人判输。

这时谁拿到最后一个石头就输，也即谁将倒数第二个石头拿走就赢了。假设将最后一颗石子拿出，游戏二就转化成了N-1颗石子的游戏一。

总结：当N-1是k+1的倍数时，B有必胜策略。否则，A有必胜策略。这两个游戏随时都能与朋友分享，如用笔在纸上划圈代表捡石头。将捡i个石头看成上i个楼梯，看谁先达到上一层楼。或者无需任何道具，从0开始每人加一个1~3的数，看谁先加过20！


第三个游戏：N颗石头摆成一排，A，B轮流从当中拿走1~2颗石头（A先拿），如果拿2颗，这两颗必须连在一起（注意石子是排成一条线的），直到谁把最后的石头拿走了，则这个人判赢。

A只要根据对称的思想就能轻松获胜。最初，A只要将一排石头从中间断开，分成均等的两份。然后B只要对其中一份操作，A就在另一份中执行相同的操作。这保证了B有石子拿的情况下，A就一定有得拿。所以最后一个石子肯定是A的。

扩展1：将石头围成一圈，假设石头足够多，不会一开始就被A全部拿走，那么A第一次会将圈断开，也即B成了胜利者。

扩展2：我们可以将一排石头换成一个5*5的格子方阵，每个格子里放一块石头，也要求每次拿一个或两个，拿两个则要求相邻，这时A只要占据中心点，然后对称地拿即可！然而，当方阵的边长变为偶数时，问题又变得不同了。试玩玩2*2的方针，会发现B有必胜策略，因为此时方针中不存在孤立的中心点，每个格子都有与之对称的，B只要根据对称思想即可获胜。有兴趣的话还可以扩展到长方形的情况看看！

对于对称思想的运用，主要是使得对手不得不打破对称，而自己则不断维护对称！

我根据第一二个游戏的扩展思路，将游戏三扩展如下，至今还在思考中。


第四个游戏：m*n颗石头摆成m*n的矩型，A，B轮流从当中拿走1~2颗石头（A先拿），如果拿2颗，这两颗必须连在一起（注意石子是排成一个矩型的），直到谁把最后的石头拿走了，则这个人判输。谁有必胜策略？

最重要的问题：P(positive)局面和N(negative)局面!

上面的游戏当中我们可以看出，有必胜策略的一方始终再维护一种具有某些性质的局面。如游戏一种后拿的人始终希望将剩余的石子数变为4的倍数。游戏三中先拿的人始终希望将剩余的石子变得对称！我们称这种具有某些性质的局面为P局面。而不具备这种性质的局面成为N局面。可以看出两种局面的一些性质（以游戏一作说明）。

P局面下的任意操作都将导致N局面。（当从4k颗石子的堆中拿走1~3颗，剩余的石子必不是4的倍数）。

任何N局面都能存存在一种操作将其变为P局面。（只要从4k+i（i=1,2,3）颗石子的堆中拿走i颗,剩余的石子就为4k。）

最终，赢家在一个P局面中获胜了，或者输家在一个N局面中失败了。（0是4的倍数，再最后一次维护中B获胜了）

所以，很多博弈小游戏其实就是找到合适的P，N局面，就能找到必胜策略！像下面将介绍的这个NIM游戏，据说NIM是由单词WIN倒写而来的，有时也将NIM作为上述捡石子游戏的总称！


第五个游戏：有若干堆石子，每堆石子的数量都是有限的，合法的操作是“选择一堆石子并拿走若干颗（不能不拿）”，如果轮到某个人时所有的石子堆都已经被拿空了，则判输（因为他此刻没有任何合法的操作）。

这个问题的P，N局面是很神奇的。我们将会在相关文章中讨论！


转自：http://blog.sina.com.cn/u/1885661061