凸函数的一阶条件及其证明

判断凸函数的一阶条件如下图所示：

First-order conditions.png

注意到右式为函数在点处的一阶泰勒展开，在n = 1情形下的几何意义如下图：

几何意义.png

具体证明如下：
充分性：
令
①
②
① + ②
#充分性得证

必要性：
令,根据“Restriction of convex function to a line”, 与有相同的凸性，为凸函数，为凸函数

注意到为直线 ,代入g(1),g(0),
#必要性得证