谈谈“有效数字思维”

数学是一种哲学思想，是逻辑学，也是形而上学。运用数学这个哲学或逻辑学或形而上学的工具处理科学问题，是一种哲学智慧。今天说说“有效数字思维”，并用有效数字思维解决一个科学普及中的实际问题。全文有两个部分，第一部分为引子，第二部分为正文，如果对有效数字的概念比较清晰，可以直接阅读第二部分。

一

王志安在微博上说：“‘庆祝王局粉丝突破500万四舍五入就是一个亿’大型抽奖开始啦！”

500万四舍五入就是一个亿，哈哈，这不是恶搞吗？当然是恶搞，王志安为了庆祝自己的粉丝突破500万，搞抽奖活动，把500万四舍五入说成一个亿，就是玩幽默、要喜感。

不过我们可以分析一下，王志安的500万，四舍五入为什么可以算成一个亿，而不是别的数字？500万这个数字，有三位数字，如果是个位、十位数四舍五入，都还是500万，百位四舍五入，这才是一个亿。可见，四舍五入是有规则的，王志安这里，他需要一个以亿为基本单位的数字，这才会把500万四舍五入得到一个亿。我查看了一下，PC版，当前王志安的粉丝数是5068996个。微博上对用户粉丝的统计是精确到1个的。但是手机版用户信息中，超过10000的，以万个为计算单位。超过1亿个的，以亿个为计算单位。万个或者亿个都是约数，微博使用的计算规则不是四舍五入，而是舍去零头。比如王志安的5068996个，用万个为单位就是506万个。数字的修约规则不限于四舍五入，还有其他法则（如四舍六入五成双）。但是常用的规则是四舍五入。

微博用户的粉丝个数，最小为0，最高目前是谢娜的1.21亿个。超过1亿个的还有何炅和杨幂，分别是1.08亿个和1.0亿个。我们从用户的粉丝数目，可以大致判断哪个是大v。通常粉丝数超过一百万的，可以视为大v。大v的粉丝数，从几百万、几千万到上亿不等。我们不需要了解大v的精确到1个的粉丝数，只要知道一个大致的数目就行了，比如谢娜的粉丝数是121712659，我们没有必要记着这个9位数，只知道1.21亿个就行了，或者知道过亿个就行了。王志安的粉丝数是506万个，我们知道王志安属于几百万数量级的大v就行了。

通常，在十进制数字中，每个位数都是一个数量级，可以用10的几次方表示，位数相差几个就可以说相差几个数量级。比如10000，是10的4次方，那么，1万到9万的数字我们都可以称之为10的4次方数量级。王志安的粉丝数就可以说是5百万数量级。谢娜、何炅、杨幂的粉丝数都可以说是一亿数量级。王志安和谢娜比，相差2个数量级。

我们遇到近似计算，就有一个数字的处理规则问题。比如圆周率π是个无理数，其位数是无穷无尽的，你的计算公式中如果出现π，就有一个π的位数的选取的问题。现在我们用一个钢卷尺测量一个圆的直径，首先得知道钢卷尺的测量精度，我们发现尺子的最小刻度是1毫米，那么尺子的精度就是1毫米。1毫米之内，可以用肉眼大致估计一下，肉眼的测量精度大约为0.2毫米。现在测量的直径d为111.4毫米，求周长。周长L=dπ。这时候π我们取几位数好呢？因为d有四位数，且第四位是约数，因此，π取4位数即可，四合五入取π=3.142，则L=111.4×3.142=350.0188。这就完了吗？肯定不行，你还得做四舍五入处理，因为两个乘数的有效数字都是4位，积也只能是4位，第五位四舍五入，答案应该是L=350.0。你也可以用计算器计算，直接调用计算器储存的π，积是一长串数字：L=349.97342160990296676473847289734。第五位四舍五入，L=350.0。

注意，这里的350.0不能写成350，因为350.0有4位有效数字，你写成350就成3位或者2位有效数字了（350，用科学计数法表示，如果是3.50×10的2次方，就是3位有效数字；如果是3.5×10的2次方，就是2位有效数字）。有效数字的表示法，有几位有效数字就要写满几位数字，末尾是0时，不能省略；有效数字，要用10的方次表示，这叫科学计数法。比如，1.0000是五位有效数字，你写成1就只有一位有效数字了，这个1可以理解成0.95到1.4之间的任意一个数字四舍五入而得，跟1.0000的有效位数相距甚远。1.0000的意义是0.99995到1.00004之间的任意数四舍五入而得。可见1与1.0000之间有天壤之别。有效数字的位数，大于等于1的，有几位算几位，比如12340.01或者1.234001×10的5次方，七位有效数字；小于1的，从第一个出现非0数字算起，比如0.0001060或者1.060×10的-4次方，四位有效数字。

乘除法的近似计算法则  若干个数字相乘或除（除数不能是0）的积或者商的有效数字的位数跟有效数字位数最少的那个乘数、被乘数或除数、被除数相同。

二

加减法的近似计算法则  先把小数点后位数最多的那个数字四舍五入，保留小数点后有效数字比最少的那个数字的有效数字多一位，相加后四舍五入，结果的有效数字的位数跟有效数字最小的那个近似数一致。

举例说明。125.05和0.00500相加，得125.05500，取两位有效数字应为125.06。因为125.05小数点后只有两位有效数字，因此，加和之后只能保留小数点后2位。再比如，1,250025和0.0020相加，1,250025小数点后有六位有效数字，而0.0020小数点后第三位才是有效数字且只有两位有效数字，答案只能保留到小数点后第4位，结果是1.252025，四舍五入为1.2520。五十年前的课本说北京猿人距今有五十万年，现在是不是可以说五十万零五十年呢？显然不能，50万是个约数，误差以数万年计，跟50相加，后者忽略不计，仍然是五十万年。

下面我们用有效数字原理解决一个科学中的实际问题。某甲黄曲霉素暴露量问题。

黄曲霉素几乎无所不在，不论是主粮还是调料还是嗜好性食品，都很难避免黄曲霉素的存在。

现在的问题是，存在不一定对你构成威胁。比如说，两个人，都是以大米为主食，一个人是大饭桶，一天能吃1000克大米，另一个人吃饭像小猫，一天只吃50克大米，这样，同样黄曲霉素含量的大米，两个人的暴露量就是大不相同的。

现在定义一个新概念，进入体内的黄曲霉素的量叫黄曲霉素暴露量（基本上就是吃进去的，粮食加工企业从业人员可能会有吸入）。相对暴露量是指单位体重每天的暴露量（单位可以是：纳克每千克每天/ng/kgBM·d）。

实验研究结果证明，黄曲霉素本身并非致癌物质，但是有极少量的黄曲霉素B1跟体内的氧化合，生成黄曲霉素B1-8,9-环氧化物（AFBO）。可以通过测定尿中的AFBO-N7-鸟嘌呤来间接推算体内的AFBO。我这里计算的是黄曲霉素B1的暴露量，仅作为有效数字原理分析方法的示例。

我们现在举例说明相对暴露量的计算。某甲体重60千克，每天吃300克大米，求某甲的黄曲霉素B1相对暴露量。

大米黄曲霉素B1的平均含量按照国家标准规定的限量10μg/kg的一半计算，即5μg/kg，那么，某甲的黄曲霉素B1相对暴露量是：5×0.300/60=0.025[μg/（kgBM·d）]=925[ ng/（kgBM·d）]。

现在你说，某甲不可能光吃大米，对啊，他每天的相对暴露量是每种食物相对暴露量的总和。

我们现在就计算他的总相对暴露量。某甲除了吃大米，还吃蔬菜水果，蔬菜和水果通常不含黄曲霉素，但是他炒菜用的是花生油，用量是20克，黄曲霉素B1含量是1.0μg/kg；酱油用了5克，黄曲霉素B1含量是1.0μg/kg；辣椒粉用了1克，黄曲霉素B1含量12μg/kg。饭后，他喝了一壶普洱茶。已知他的普洱茶黄曲霉素B1含量是2.7μg/kg，他用了2克茶叶；假定某甲把2克茶叶吞吃了。含量数据均来自文献。

计算结果见表。

合计计算的初步结果是25.662，取2位有效数字，四舍五入得26[ ng/（kgBM·d）]。我们从某甲的食物结构看，他的黄曲霉素B1的主要来源是大米，其他都是零头，因此，这个人要想显著降低黄曲霉素B1暴露量，首先应该是降低大米的黄曲霉素暴露量。如果他觉得大米是主食，满不在乎，而把精力用在降低花生油、酱油、辣椒粉、普洱茶中的黄曲霉素，他就是事半功倍，甚至是白费了，因为你即便不吃酱油、辣椒粉、普洱茶，也降低不了多少黄曲霉素B1的暴露量。国家标准中大米的黄曲霉素B1限量是10μg/kg，他如果能找到黄曲霉素B1含量只有2μg/kg的优质大米，那么他的黄曲霉素B1暴露量就能降低一大半。继续降低大米的黄曲霉素B1含量，难度很大。如果他已经食用优质大米了，那就没办法了，他只能坦然面对每天必须暴露的黄曲霉素B1。人不能不吃饭啊。至于花生油，他现在用的是大工业生产的优质产品，黄曲霉素B1含量只有1μg/kg，但是他如果改吃土法压榨的花生油，黄曲霉素B1含量则可以高达40μg/kg或相对暴露量13ng/(kgBN·d，那就不可小觑了。

即便是黄曲霉素B1含量只有2μg/kg的优质大米【上海大米平均黄曲霉素B1含量约为1.9μg/kg，见上海交通大学学报（医学版）2011年第10期）】，他的黄曲霉素B1相对暴露量仍然高达10 ng/（kgBM·d），跟花生油、酱油、辣椒粉、普洱茶比，仍然是独占鳌头。所以，我们遇到若干数字相加的问题时，就要有四舍五入和有效数字的数学思维，知道哪个是重点，哪个可以忽略不计，不能面面俱到，更不能本末倒置，逮着可以忽略不计的数字不放，而把大头视若敝屣。正如食品中的黄曲霉素，你对大米中的黄曲霉素视而不见，或者不知道大米中的黄曲霉素在自己的总黄曲霉素暴露量中的占比之大（95%以上），却对黄曲霉素含量微不足道的酱油（小于0.2%）、辣椒粉（小于0.8%）、普洱茶（小于0.3%）耿耿于怀，咬牙切齿，必欲“斩尽杀绝”，那你可真是大战风车的唐吉可德了。

最后顺便说明，国家标准黄曲霉素B1含量的测定方法有几种，允许误差分别是20%和60%。见附图。

图片发自App

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国家标准的意思是说，假如你去检测大米中的黄曲霉素B1含量，分析部门给你报告的数据是10μg/kg，如果用的是高效液相色谱法，意思是8到12μg/kg之间;如果用的是酶联免疫吸附筛查法，意思就是4到16μg/kg之间。数据就是这么八卦，误差很大的。换言之，你不要在意酱油或者辣椒粉中的那一点比大米小了两个数量级的黄曲霉素B1。