溺于恐
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数学分析理论基础21：单调函数

单调函数

单调性判断

定理：设在区间上可导,则在上递增(减)的充要条件是

证明：

必要性

若为增函数

则,当时有

令,即得

充分性

若在区间上恒有

则,不妨设

应用Lagrange定理

,使得

故在上为增函数

定理：若函数在上可导,则在上严格递增(递减)的充要条件是

1.,有

2.在的任何子区间上

推论：设函数在区间上可微,若(),则在上严格递增(严格递减)

注：若在上(严格)递增(减),且在点右连续,则在上亦为(严格)递增(减),对右端点可类似讨论

Darboux定理

定理：若函数在上可导，且，为介于之间任一实数，则至少存在一点，使得

证明：

设

则在上可导

且

不妨设

则，使得

在上可导，故连续

由最大、最小值定理

,使在点取得最大值

显然

即是的极大值点

由费马定理得

即

注：定理又称为导函数的介值定理

推论：设函数在区间上满足，则在区间上严格单调

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