小朋友学经典算法(14):回溯法和八皇后问题

一、回溯法

回溯法(探索与回溯法)是一种选优搜索法,又称为试探法,按选优条件向前搜索,以达到目标。但当探索到某一步时,发现原先选择并不优或达不到目标,就退回一步重新选择,这种走不通就退回再走的技术为回溯法,而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。

二、八皇后问题

(一)问题描述

小朋友学经典算法(14):回溯法和八皇后问题_第1张图片
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在国际象棋中,皇后是最强大的一枚棋子,可以吃掉与其在同一行、列和斜线的敌方棋子。比中国象棋里的车强几百倍,比她那没用的老公更是强的飞起(国王只能前后左右斜线走一格)。
八皇后问题是这样一个问题:将八个皇后摆在一张8*8的国际象棋棋盘上,使每个皇后都无法吃掉别的皇后,一共有多少种摆法?
八皇后问题,是一个古老而著名的问题,是回溯算法的典型案例。该问题是国际西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔于1848年提出。高斯认为有76种方案。1854年在柏林的象棋杂志上不同的作者发表了40种不同的解,后来有人用图论的方法解出92种结果。计算机发明后,有多种计算机语言可以解决此问题。

(二)分析过程

为了使问题简化,假定国王与四位皇后离了婚,那么只剩下四位皇后了。八皇后问题就变成了四皇后问题。

小朋友学经典算法(14):回溯法和八皇后问题_第2张图片
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在第一行放1号皇后。第一行的四个格子都可以放。按枚举的习惯,先放在第一个格子。如下图所示。黑色的格子不能放其他的皇后。

小朋友学经典算法(14):回溯法和八皇后问题_第3张图片
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在第二行放2号皇后,只能放在第三个或第四个格子。按枚举的习惯,先放在第三个格子,如下图所示。

小朋友学经典算法(14):回溯法和八皇后问题_第4张图片
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不好了,前两位皇后沆瀣一气,已经把第三行全部锁死了,第三位皇后无论放哪里都难逃被吃掉的厄运。于是在第一个皇后位于1号,第二个皇后位于3号的情况下问题无解。我们只能返回上一步来,给2号皇后换个位置,挪到第四个格子上。

小朋友学经典算法(14):回溯法和八皇后问题_第5张图片
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显然,第三个皇后只有一个位置可选。当第三个皇后占据第三行蓝色空位时,第四行皇后无路可走,于是发生错误,返回上层挪动3号皇后,而3号也别无可去,继续返回上层挪动2号皇后,2号已然无路可去,继续返回上层挪动1号皇后。于是1号皇后改变位置如下,继续搜索。

小朋友学经典算法(14):回溯法和八皇后问题_第6张图片
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分析到这里,想必小朋友们对“回溯法”已经有了基本概念。下面要将算法实现出来。

(三)代码实现

1 queen()函数

void queen(int row)
{
    if(row == n)
    {
        // 从0到n-1行,全部都已经放上皇后了,所以答案+1
        total++;

        // 打印出n个皇后具体放在0~n-1行的第几列
        for(int i = 0; i

算法是逐行安排皇后的,其参数row为现在正执行到第几行。n是皇后数,在八皇后问题里当然就是8啦。
if(row == n)这句代码好理解,如果程序执行了row == n,说明从0到n-1的位置都放上了皇后,那自然是找到了一种解法,于是八皇后问题解法数加1。
否则进入else语句。遍历所有列col,将当前col存储在数组c里,然后使用check()检查row行col列能不能摆皇后,若能摆皇后,则递归调用queen去安排下一列摆皇后的问题。

还不太清楚?再慢点来,刚开始的时候row = 0,意思是要对第0行摆皇后了。
If判断失败,进入else,进入for循环,col初始化为0
显然,0行0列的位置一定可以摆皇后的,因为这是第一个皇后啊,后宫空荡她想怎么折腾就怎么折腾,于是check(0)测试成功,递归调用queen(1)安排第1行的皇后问题。

皇后放在第1行时即row=1,进来if依然测试失败,进入for循环,col初始化为0。1行0列显然是不能摆皇后的,因为0行0列已经有一个圣母皇太后在那搁着了,于是check()测试失败,循环什么也不做空转一圈,col变为1。1行1列依然check()测试失败,一直到1行2列,发现可以摆皇后,于是继续递归queen(2)去安排第二个皇后位置。

如果在某种情况下问题无解呢?例如前面在4皇后问题中,0行0列摆皇后是无解的。假设前面递归到queen(2)时候,发现第2行没有地方可以摆皇后,那怎么办呢?要注意queen(2)的调用是在queen(1)的for循环框架内的,queen(2)若无解,则自然而然queen(1)的for循环col自加1,即将第1行的皇后从1行2列改为1行3列的位置,检查可否放皇后后继续安排下一行的皇后。如此递归,当queen(0)的col自加到n-1,说明第一列的皇后已经遍历了从0行1列到0行n-1列,此时for循环结束,程序退出。

在主函数中调用queen(0),得到正确结果,8皇后问题一共有92种解法。

2 check函数

bool check(int curRow)
{
    //放当前行的皇后时,只需要检查跟前面那些行的皇后有没有冲突
    //不需要考虑后几行,因为后几行的皇后还没放上去呢
    for(int preRow = 0; preRow != curRow; preRow++)
    {
        if(c[curRow] == c[preRow] ||
           curRow - c[curRow] == preRow - c[preRow] ||
           curRow + c[curRow] == preRow + c[preRow])
        {
            return false;
        }
    }

    return true;
}

这里curRow表示当前的行。假定当前的行为第3行(从0开始计数)。那么for循环里,preRow = 0表示第0行,preRow = 1表示第1行,preRow = 2表示第2行。
c[curRow]表示第curRow行所在的列。比如c[3] = 2表示第三行第2列。c[0] = 2表示第0行第2列等。

(1) c[curRow] == c[preRow]

表示第row行和第preRow行的列一样,这样两个皇后就冲突了,所以返回false。

(2) curRow - c[curRow] == preRow - c[preRow]

表示curRow行c[curRow]列与preRow 行c[preRow]列,在同一条斜率为负的斜线上。这样两个皇后也冲突了。以下图为例

小朋友学经典算法(14):回溯法和八皇后问题_第7张图片
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例1

A格子,preRow = 0, c[preRow] = c[0] = 0,即第0行第0列。C格子,curRow = 2, c[curRow] = c[2] = 2, 即第2行第2列。curRow - c[curRow] == preRow - c[preRow],表示这两个格子在一条斜线上,返回false。

例2

B格子,preRow = 1, c[preRow] = c[1] = 0,即第1行第0列。D格子,curRow= 3, c[curRow] = c[3] = 2, 即第3行第2列。curRow - c[curRow] == preRow - c[preRow],表示这两个格子在一条斜线上,返回false。

(3) curRow + c[curRow] == preRow + c[preRow]

表示curRow行c[curRow]列与preRow行c[preRow]列,在同一条斜率为正的斜线上。这样两个皇后也冲突了。如下图所示:

小朋友学经典算法(14):回溯法和八皇后问题_第8张图片
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例3

A格子,preRow = 0, c[preRow] = c[0] = 1,即第0行第1列。B格子,curRow = 1, c[curRow] = c[1] = 0, 即第1行第0列。curRow + c[curRow] == preRow + c[preRow],表示这两个格子在一条斜线上,返回false。

例4

C格子,preRow = 0, c[preRow] = c[0] = 3,即第0行第3列。D格子,curRow= 3, c[curRow] = c[3] = 0, 即第3行第0列。curRow+ c[curRow] == preRow + c[preRow],表示这两个格子在一条斜线上,返回false。

注意:上面表示两种斜线的情况,一种用的是“-”,另一种用的是“+”,其实是因为这两种线的斜率分别为-1和1的缘故。

3 完整代码

#include
#include
using namespace std;

int n = 8;
int total = 0;
int *c = new int(n); //也可以写为int c[n];表示皇后放在第几列

bool check(int curRow)
{
    //放当前行的皇后时,只需要检查跟前面那些行的皇后有没有冲突
    //不需要考虑后几行,因为后几行的皇后还没放上去呢
    for(int preRow = 0; preRow != curRow; preRow++)
    {
        if(c[curRow] == c[preRow] ||
           curRow - c[curRow] == preRow - c[preRow] ||
           curRow + c[curRow] == preRow + c[preRow])
        {
            return false;
        }
    }

    return true;
}

void queen(int row)
{
    if(row == n)
    {
        // 从0到n-1行,全部都已经放上皇后了,所以答案+1
        total++;

        // 打印出n个皇后具体放在0~n-1行的第几列
        for(int i = 0; i

运行结果:

……
6 2 0 5 7 4 1 3
6 2 7 1 4 0 5 3
6 3 1 4 7 0 2 5
6 3 1 7 5 0 2 4
6 4 2 0 5 7 1 3
7 1 3 0 6 4 2 5
7 1 4 2 0 6 3 5
7 2 0 5 1 4 6 3
7 3 0 2 5 1 6 4
92

三、回溯法和枚举法的区别

回溯法与穷举法有某些联系,它们都是基于试探的。
穷举法要将一个解的各个部分全部生成后,才检查是否满足条件,若不满足,则直接放弃该完整解,然后再尝试另一个可能的完整解,它并没有沿着一个可能的完整解的各个部分逐步回退生成解的过程。
而对于回溯法,一个解的各个部分是逐步生成的,当发现当前生成的某部分不满足约束条件时,就放弃该步所做的工作,退到上一步进行新的尝试,而不是放弃整个解重来。

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