Algorithms 算法学习笔记20180413

从昨天的Sorting动图和思路中，可以看到，每种排序算法都有各自的特点，其中我最感兴趣的是Merge Sort，就是归并排序，它将规模为N的序列拆分出若干子序列，这样，每个子序列只需要进行小规模的排序即可，减少了总的运算次数，提高了算法效率。而Merge Sort也用到了算法中非常重要的一个分治思想。

分治思想分三步，第一步是Divide，把问题拆为子问题；第二步用同样的算法来递归子问题；第三步是将所有已解决的子问题合并至一起。

在MIT的网易公开课《算法导论》中，有一次课专门讲到分治方法。同时，除了Merge Sort的例子，更重要的是其他问题的解决，比如二分法查找，在一个长度为N的非递减的序列中，如何快速找到x的位置，朴素算法是逐个比较。而二分法是先取中间元素与x进行比较，如果x<中间元素，则说明x在1 to N/2之间，这时右半边可以完全排除。T(n)=1*T(n/2)+θ(1)。

第三个例子是计算x的n次方，把它分为x的n/2次方与x的n/2次方相乘即可。当然，要对n的奇偶进行分开讨论，但总的算法时间为T(n)=2*T(n/2)+θ(1)。这样n/2个x相乘的次数就少一半，节约时间。

第四个例子是计算斐波契那数列简称F(n)的第n项的数值，开始几项是1，1，2，3，5，。。。。，每一项是前两项的和，如果按照数列定义计算，会很麻烦。后面有人证明得出，Fn项满足（1 1 1 0）的2X2矩阵的n次方，根据这个定理，我们可以把计算Fn变成进行矩阵乘法的运算。与第三个例子类似。但仍然不够效率。

后来有一个叫Stcassen的人提供了一个解法，把乘法变成了7个子问题，然后分别计算后再得出最终矩阵的4项。具体方法见维基百科。

接下来会继续进行一些经典算法的学习，并结合实际问题把它们全部代码化，请大家继续关注.