广群

一个代数系统,其中A是非空集合，*是S上的二元运算，如果二元运算*是封闭的，那么代数系统成为广群；

 

半裙
一个代数系统,其中A是非空集合，*是S上的二元运算

（1）如果二元运算*是封闭的；

（2）二元运算*是可结合的，那么对任意的x，y，z属于S，满足：

（x*y)*z=x*(y*z)

则称代数系统为半裙

 

独异点

含有幺元的半裙是独异点；

 

群

一个代数系统,其中A是非空集合，*是S上的二元运算

（1）如果二元运算*是封闭的；

（2）二元运算*是可结合的；

（3）存在幺元；

（4）对每一个元素，存在逆元；

代数系统称为群；

 

Abel群

群的运算*是可交换的，那么成为Abel群（交换群）

 

环

设代数系统，如果：

（1）是Abel群；

（2）是半群；（封闭可结合无幺元逆元）

（3）运算*对于运算&是可分配的

则称为环；

 

交换环

设是环，如果也是可交换的，则称交换环；

 

含幺环

设是环，如果含有幺元，则称含幺环；

 

整环

设是一个代数系统，如果满足：
（1）是Abel群；

（2）是可交换的独异点，且无零因子，且对任意的a，b属于B，并且a≠0，b≠0，必有a*b≠0；

（3)运算*对于运算&是可分配的；

则称是整环；

 

域

设是一个代数系统，如果满足：

（1）是Abel群；

（2）是Abel群；

（3）运算*对于运算&是可分配的；

则称是域；

 

格

设是一个偏序集（自反性，反对称性，传递性），如果A中任意两个元素都有最小上界和最大下界，则称为格；

 

def

设为一个格，如果在A上定义二元运算∧和∨，使对于任意的a，b∈A，有a∨b为A的最小上界，a∧b为A的最大下界，那么就称是由格诱发的代数系统；

 

理想

环R的一个非空子集J称为理想；如果J是R的一个子环并且对所有a∈J，r∈R，有

ar∈J和ra∈J；

 

主理想

R是一个交换环，R的一个理想J成为主理想；如果存在a∈R使得J=（a）。

 

主理想环

设R是一个整环，如果R中的每一个理想都是主理想，则称R是主理想环；

 

多项式环