面试题—两个鸡蛋和百层大楼的故事

2016秋招刚刚结束，面试笔试过程中呢，元帅也遇到过很多考察智力和逻辑分支能力的面试题，今天我们就来分析一道很经典的（据说是Google面试题），也许对各位会有一些帮助，开卷有益~

分析方式以原文为主，更多的是解释一些思路的由来及数学解法。

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来源：Jay13

链接：

https://www.cricode.com/3558.html

有一栋楼共100层，一个鸡蛋从第N层及以上的楼层落下来会摔破， 在第N层以下的楼层落下不会摔破。给你2个鸡蛋，设计方案找出N，并且保证在最坏情况下， 最小化鸡蛋下落的次数。(假设每次摔落时，如果没有摔碎，则不会给鸡蛋带来损耗)

注意审题，分析侧重点，列出两个点，留作分析指针：

1）最坏情况

2）最小化鸡蛋下落次数

Case 0：

第一种策略类似于枚举法，我们可以从第一层楼开始扔鸡蛋，这样逐层向上检验，直到在x层鸡蛋碎了（x-1层未碎），说明x层就是鸡蛋的下坠极限楼层。

这种策略的最坏情况，即最多试验次数是100次（对于这道题我想采用最坏情况来考虑），而且此时第二个鸡蛋相当于被闲置了，所以我们尝试做一下优化，看看能不能利用被闲置的这个鸡蛋去减少最多试验次数～

【优化】这里我想到了折半这种方法，即在50楼抛下第二个鸡蛋（注意这里是有次序的）原因也是考虑如何让最多试验次数取极小值。为什么取50原文没有说清楚，我给出我的答案：

假设在第x层抛先第二个鸡蛋，那么会有两种情况，我们先考虑不破的情况，这样说明极限楼层在x之上，此时我们只能从x+1层开始逐个向上测试，最坏测试次数为100-x-1=99-x，（最坏结果为顶层为极限，-1表示测到顶层的相邻层时，无需检验顶层）；我们再考虑破的情况，这说明极限楼层在x之下，同第一种情况，我们要从第1层开始依次向上抛最后一个鸡蛋去测试，最坏测试次数为x，极限层数可能为x或x-1。到这里我们分析了两种情况的最坏测试次数，简单分析一下两种情况发生的概率之后，要保证两种情况的最坏测试次数保持一致（减少方差，即99-x=x x=49.5 取49或50 最坏测试次数约为49.5次，约为50次）

Case 1：

第二种策略是将楼层按一定组距分组，原文依旧没有给出分成10组的原因，我的猜想如下：假设分成n个组，那么测试步骤就变为从每组的最上层进行测验，如果不破则跳到高一层的组进行测验，这样最坏情况是测到最高一组，最坏测试次数是n+100/n-1，取最小时，n=10，19次。但是仔细一想，最后一组没有必要测最高一层，即我们最坏只需测9+9次，即可找到极限楼层，即这种策略最坏测试次数为18次。

Case 2:

第三种策略，按道理是对第一种策略的优化和增加约束条件。假设在第y层进行测验，破的情况下，说明极限楼层在y的下层，即从第一层开始用第二个鸡蛋逐层测试，那么最坏测试次数1+y-1 = y =全部测试次数（假设为x）；如果在第y层测试的时候，鸡蛋没有破，那么说明极限楼层在上面，此时考虑约束：

必须用一个鸡蛋找到极限楼层

所以我们从y之上一楼层选择y‘重复上一步骤，但要满足2+剩余测试次数 = x，所以最坏情况下，要在y相距x-2层的地方投掷鸡蛋进行测验，此楼为y+x-2+1 = y+x-1依次类推。最坏情况是：用尽最后一次测试次数时，恰好找到极限楼层，即

x最小值为14.

值得一提的是，策略一、二、三的面试给分分别是0、5、10分（10分制），各位看完之后有没有好的解法呢？

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