Divide and Conquer
分而治之——分治算法学习笔记
分治法适用情景
- 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决
- (前提) 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质
- (关键) 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
- (效率) 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。
使用分治法 (Divide and Conquer) 解题步骤
Step1：Devide——将要解决的问题划分成若干规模较小的同类问题
Step2：Conquer——当子问题划分得足够小时，用较简单的方法解决 (递归)
Step3：Combine——将子问题的解逐层合并构成原问题的解
最接近点对问题
问题描述
在二维平面上的n个点中，找出最接近的一对点
问题背景
在应用中，常用诸如点、圆等简单的几何对象代表现实世界中的实体。在涉及这些几何对象的问题中，常需要了解其邻域中其他几何对象（最接近）的信息。例如，在空中交通控制问题中，若将飞机作为空间中移动的一个点来看待，则具有最大碰撞危险的2架飞机，就是这个空间中最接近的一对点。这类问题是计算几何学中研究的基本问题之一
问题分析
已知集合S中有n个点，使用分治法的思想就是将S进行拆分，分为2部分求最近点对。算法每次选择一条垂线L，将S拆分左右两部分为SL和SR，( L一般取点集S中所有点的中间点的x坐标来划分，这样可以保证SL和SR中的点数目各为n/2 否则以其他方式划分S，有可能导致SL和SR中点数目一个为1，一个为n-1，不利于算法效率，要尽量保持树的平衡性 )
依次找出这两部分中的最小点对距离：δL和δR，记SL和SR中最小点对距离δ = min{δL，δR}
算法核心步骤 (子问题解合并) 如何合并两个集合找到最小点对距离
以L为中心，δmin 为半径划分一个长带，最小点对还有可能存在于SL和SR的交界处，，p点和q点分别位于SL和SR的虚线范围内，只有在这个范围内，p点和q点之间的距离才会小于δ，最小点对计算才有意义。
(子问题合并算法优化) 不选取2δmin 带中所有的点进行计算，而是对于SL虚框范围内的p点，只选取SR虚框范围内长2δ，宽为δ的中的点进行计算，由δ的意义可知SR中任何2个S中的点的距离都不小于δ。由此可以推出矩形R中最多只有6个SR中的点。
然后我们只知道对于SL中每个δ中的点p最多只需要检查SR中的6个点，但是我们并不确切地知道要检查哪6个点。为了解决这个问题，我们可以将p和SR中所有δ的点投影到垂直线l上。由于能与p点一起构成最接近点对候选者的δ中点一定在矩形R中，所以它们在直线l上的投影点距p在l上投影点的距离小于d。由上面的分析可知，这种投影点最多只有6个。因此，若将SL和SR中所有S的点按其y坐标排好序，则对SL中所有点p，对排好序的点列作一次扫描，就可以找出所有最接近点对的候选者，对SL中每一点最多只要检查SR中排好序的相继6个点。
( 否则的话，最坏情形下，在SR虚框中有可能会有n/2个点，对于SL虚框中的p点，每次要比较n/2次 )
矩阵稀疏性证明
- 反证法
如果右边这2个正方形内有7个点与p点距离小于δ，例如q点，则q点与下面正方形的四个顶点距离小于δ，则和δ为SL和SR中的最小点对距离相矛盾。因此对于SL虚框中的p点，不需求出p点和右边虚线框内所有点距离，只需计算SR中与p点y坐标距离最近的6个点，就可以求出最近点对，节省了比较次数。
- 鸽舍原理
由δ的意义可知P2中任何2个S中的点的距离都不小于δ。由此可以推出矩形R中最多只有6个S中的点。事实上，我们可以将矩形R的长为2δ的边3等分，将它的长为δ的边2等分，由此导出6个（δ/2）×（2δ/3）的矩形
若矩形R中有多于6个S中的点，则由鸽舍原理易知至少有一个δ×2δ的小矩形中有2个以上S中的点。设u,v是这样2个点，它们位于同一小矩形中，则因此d(u,v)≤5δ/6<δ 。这与δ的意义相矛盾
算法设计与描述
伪码描述
分治法求解最近点对距离
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输入:点集合points
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输出:最近点对距离distance，最近点对point1,point2
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def Closest_pair(points)
BEGIN
length=points.length // 获取数组长度
qsort(points,points+length,x) // 以x为标准对点集合points进行快速排序
ClosestPair(Point points[], int length, Point &a, Point &b) // 求最近点对及最近点对距离
END
def ClosestPair(Point points[], int length, Point &a, Point &b)
BEGIN
if length< 2
then
return infinite // 如果数组长度小于2 返回无穷大
else if length = 2
then
return distance(points[0],points[1] // 如果数组长度等于2 返回该两点的距离
else // 数组长度大于3
then
mid = points.mid // 获取中线
pts1 = points(<=mid) // 存储两个集合点
pts2 = points(>mid)
d1 = ClosestPair(pts1, length / 2, a1, b1); //分治求解左半部分子集的最近点
d2 = ClosestPair(pts2, length - length / 2, a2, b2); //分治求解右半部分子集的最近点
d = min(d1,d2)
// merge 合并子集解
pts3 = points(abs(x-mid源码描述
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
// 分治法求解最近点对问题
// @`13
// 2017年4月21日
// 参考 : http://blog.csdn.net/to_baidu/article/details/50315607
// 参考 : http://www.cnblogs.com/king1302217/archive/2010/07/08/1773413.html
#define INFINITE_DISTANCE 65535 // 无限大距离
#define COORDINATE_RANGE 100.0 // 横纵坐标范围为[-100,100]
#ifndef Closest_pair
typedef struct Point
{// 二维坐标上的点Point
double x;
double y;
}Point;
double Distance(Point a, Point b)
{//平面上任意两点对之间的距离公式计算
return sqrt((a.x - b.x)*(a.x - b.x) + (a.y - b.y)*(a.y - b.y));
}
bool compareX(Point a, Point b)
{//自定义排序规则：依照结构体中的x成员变量升序排序
return a.x < b.x;
}
bool compareY(Point a, Point b)
{//自定义排序规则：依照结构体中的x成员变量升序排序
return a.y < b.y;
}
float ClosestPair(Point points[], int length, Point &a, Point &b)
{// 求出最近点对记录，并将两点记录再a、b中
double distance; //记录集合points中最近两点距离
double d1, d2; //记录分割后两个子集中各自最小点对距离
int i = 0, j = 0, k = 0, x = 0; //用于控制for循环的循环变量
Point a1, b1, a2, b2; //保存分割后两个子集中最小点对
if (length < 2)
return INFINITE_DISTANCE; //若子集长度小于2，定义为最大距离，表示不可达
else if (length == 2)
{//若子集长度等于2，直接返回该两点的距离
a = points[0];
b = points[1];
distance = Distance(points[0], points[1]);
}
else
{//子集长度大于3，进行分治求解
Point *pts1 = new Point[length]; //开辟两个子集
Point *pts2 = new Point[length];
sort(points, points + length, compareX); //调用algorithm库中的sort函数对points进行排序，compareX为自定义的排序规则
double mid = points[(length - 1) / 2].x; //排完序后的中间下标值，即中位数
for (i = 0; i < length / 2; i++)
pts1[i] = points[i];
for (int j = 0, i = length / 2; i < length; i++)
pts2[j++] = points[i];
d1 = ClosestPair(pts1, length / 2, a1, b1); //分治求解左半部分子集的最近点
d2 = ClosestPair(pts2, length - length / 2, a2, b2); //分治求解右半部分子集的最近点
if (d1 < d2) { distance = d1; a = a1; b = b1; } //记录最近点，最近距离
else { distance = d2; a = a2; b = b2; }
//merge - 进行子集合解合并
//求解跨分割线并在δ×2δ区间内的最近点对
Point *pts3 = new Point[length];
for (i = 0, k = 0; i < length; i++) //取得中线2δ宽度的所有点对共k个
if (abs(points[i].x - mid) <= distance)
pts3[k++] = points[i];
sort(pts3, pts3 + k, compareY); // 以y排序矩形阵内的点集合
for (i = 0; i < k; i++)
{
if (pts3[j].x - mid >= 0) // 只判断左侧部分的点
continue;
x = 0;
for (j = i + 1; j <= i + 6 + x && j < k; j++) //只需与有序的领接的的6个点进行比较
{
if (pts3[j].x - mid < 0)
{// 假如i点是位于mid左边则只需判断在mid右边的j点即可
x++;
continue;
}
if (Distance(pts3[i], pts3[j]) < distance)
{//如果跨分割线的两点距离小于已知最小距离，则记录该距离和两点
distance = Distance(pts3[i], pts3[j]);
a = pts3[i];
b = pts3[j];
}
}
}
}
return distance;
}
void SetPoints(Point *points, int length)
{//随机函数对点数组points中的二维点进行初始化
srand(unsigned(time(NULL)));
for (int i = 0; i < length; i++)
{
points[i].x = (rand() % int(COORDINATE_RANGE * 200)) / COORDINATE_RANGE - COORDINATE_RANGE;
points[i].y = (rand() % int(COORDINATE_RANGE * 200)) / COORDINATE_RANGE - COORDINATE_RANGE;
}
}
int main()
{
int num; //随机生成的点对个数
Point a, b; //最近点对
double diatance; //点对距离
cout << "请输入二维点对个数:";
cin >> num;
if (num < 2)
cout << "请输入大于等于2的点个数！！" << endl;
else
{
cout << endl << "随机生成的" << num << "个二维点对如下：" << endl;
Point *points = new Point[num];
SetPoints(points, num);
for (int i = 0; i < num; i++)
cout << "(" << points[i].x << "," << points[i].y << ")" << endl;
diatance = ClosestPair(points, num, a, b);
cout << endl << endl << "按横坐标排序后的点对:" << endl;
for (int i = 0; i < num; i++)
cout << "(" << points[i].x << "," << points[i].y << ")" << endl;
cout << endl << "最近点对为：" << "(" << a.x << "," << a.y << ")和" << "(" << b.x << "," << b.y << ")" << endl << "最近点对距离为：" << diatance << endl;
}
system("pause");
}
#endif // !Closest_pair
算法分析
快速排序过程
对点集S的点坐标进行升序快速排序，复杂度为O(nlogn)分治过程
接下来在分治过程中，对于每个S'yL中的点，都需要与S'yR中的6个点进行比较
O(n)= 2O(n/2) + (n/2)*6 （一个点集划分为左右两个点集，时间复杂度为左右两个点集加上中间区域运算之和）
带入主定理求解即可得到世界复杂度
因此总的时间复杂度为O(3nlogn)，比蛮力法的O(n2)要高效
实验环境
Windows 10
Visual Studio Code 2015/Clion 2017.1
About
- Github ： h-j-13
- Harbin Institute of Technology at Weihai
- Email : [email protected]/[email protected]
- 2017年04月21日