复数基础知识

复数基础知识

0：前言

• 我们以前都学过，如果一个数要开平方的话，一定要保证被开平方的数是一个正数，但是为了扩充数域，引入复数概念。
• 规定\(\sqrt{-1}=i\)。

1：复数的概念

• 形如\(z=x+iy\)的数就是一个复数，其中\(x\)和\(y\)是任意的实数，分别称为复数\(z\)的实部和虚部。
• 一般来说，复数不能比大小，但是可以说两个复数相等。

2：复数的代数运算

• 加减就对应实部虚部相加就行了。
• 乘法和除法需要稍加注意。
• 乘法：
  • \(z_1z_2=(x_1+y_1i)(x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i-y_1y_2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i\)
• 除法：
  • \(\frac{z_1}{z_2}=\frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i}=\frac{(x_1+y_1i)(x_2-y_2i)}{(x_2+y_2i)(x_2-y_2i)}=\frac{(x_1+y_1i)(x_2-y_2i)}{x_2^2+y_2^2}\).
  • 之后对上面做乘法就行，也就是说复数的除法要将分母实化。
• 同样复数满足交换律、结合律、分配律。

3：复数的几何表示

• 任意一个复数\(z=x+y_i\)都有一个与之对应的二维平面点对\((x,y)\)。

• 如图所示：

• 

• 其中
  • \(|z|=r=\sqrt{x^2+y^2}\)，表示这个向量的模或长度。
  • \(\theta=arctan\frac{y}{x}\)表示向量所对应的幅角。
    • 特殊的，当\(z=0\)时，幅角不确定。
  • 也可以知道\(x=rcos\theta,y=rsin\theta\)。
• 接着我们可以得到复数的另一种表示：
  • \(z=x+yi=rcos\theta+irsin\theta=r(cos\theta+isin\theta)=re^{i\theta}\)。
  • 即\(z=re^{i\theta}\).
  • 其中\(e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta\)就是大名鼎鼎的欧拉\((Euler)\)公式。（\(e\)是自然对数）
• 值得注意的一点！！
  • 我们说\(\theta\)表示复数\(z\)的幅角，但其实幅角的表示可以不唯一。
  • 比如说我从\(\theta\)的位置正好逆时针旋转一圈后变成\(\theta+2\pi\)，他还是在那个位置，但是他不等于\(\theta\)。
  • 所以说幅角可以表示为\(\theta+2k\pi\)，其中\(k\)取任意整数。
  • 既然有很多个幅角，我们可以定义一个幅角主值，也就是我们最开始的那个\(\theta\)，不去加\(2k\pi\)。
  • 但是比如说\(\frac{\pi}{2}\)(逆时针扫)，他同样可以用\(-\frac{3\pi}{2}\)(顺时针扫)来表示。
  • 我们规定在\(x\)轴上方的用逆时针扫的角度，\(x\)轴下方用顺时针扫的角度。
  • 仔细理解这点，后面对复数开根号需要用到。

4：复数的幂与方根

1：复数的积与商

• 设有两个复数\(z_1=r_1e^{i\theta_1},z_2=r_2e^{i\theta_2}\)。
• \(z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}\)。
• \(\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}*e^{i(\theta_1-\theta_2)}\)。
• 所以可以得到以下两个定理：
  • 两个复数乘积的模等于他们模的乘积；两个复数乘积的幅角等于他们幅角的和。
  • 两个复数商的模等于他们模的商；两个复数商的幅角等于他们幅角的差。

2：复数的幂与方根

幂

• 首先引入一个公式：
  • \((cos\theta+isin\theta)^n=cosn\theta+isinn\theta\).
  • 这就是棣莫弗\((De\ Moivre)\)公式。
• \(z^n\)就是\(n\)个\(z\)乘起来。
• \(z^n=r^ne^{in\theta}=r^n(cosn\theta+isinn\theta)\)。

方根（重点）

• 要求复数\(z\)的\(n\)次方根，实际上就是求解方程\(w^n=z\)，问\(w\)。
• 设\(z=re^{i\theta},w=\rho e^{i\phi}\).
• 从而得到方程
  • \(\rho ^n=r\).
  • \(n\phi=\theta+2k\pi\).
• 解得：
  • \(\rho=\sqrt[n]{r}\).
  • \(\phi=\frac{\theta+2k\pi}{n}\).
• 所以\(w_k=\sqrt[n]{r}e^{i(\frac{2k\pi+\theta}{n})}\).
• 当\(k=0,1,2,...,n-1\)时，可以得到\(n\)个相异的根。
• \(w_0=\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\theta}{n}},w_1=\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\theta+2\pi}{n}},w_2=\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\theta+4\pi}{n}},...,w_{n-1}=\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\theta+2(n-1)\pi}{n}}\).
• 为什么只有\(n\)个呢？因为\(k\)取别的整数的话，所得到的根就和上述的\(n\)个根重复了。
• 由复数的几何意义可知，最后这\(n\)个根就表示他们以原点为圆心，以\(\sqrt[n]{r}\)为半径在一个圆上均匀分布着。
• 就像这样：
• 这里表示有四个根，

蓝线的四个头。

• 来做个例题收尾吧
• 求\(\sqrt[4]{1+i}\).
• \(\because1+i=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\).
• \(\therefore \sqrt[4]{1+i}=\sqrt[8]{2}e^{i\frac{\frac{\pi}{4}+2k\pi}{4}},k=0,1,2,3\).
• 有\(w_0=\sqrt[4]{2}e^{i\frac{\pi}{16}},w_1=\sqrt[4]{2}e^{i\frac{9\pi}{16}},w_2=\sqrt[4]{2}e^{i\frac{17\pi}{16}},w_3=\sqrt[4]{2}e^{i\frac{25\pi}{16}}\).
• 这四个根表示以原点为圆心，以\(\sqrt[8]{2}\)为半径的圆内接正方形的四个顶点。