群论之浅尝辄止

四个月前的某一天，无意中看到Brilliant上有一套介绍群论的课程——Group Theory。从问题引出概念，插图精美，讲解详细，实在是不可多得。我一个冲动就办了一年的会员，买下了这个课程。然而课程越往后越难，概念的交错运用让我顾此失彼。经过了整整四个月，才勉强把整个课程学完。为了不忘得太快，我打算用通俗的语言记录一下，不求精确，只求易于理解。

1.群的定义

群由集合中的元素和特定的二元运算符构成，集合中的元素满足三个条件：存在单位元素，任意元素都存在唯一的逆，元素之间的运算满足结合律。

2.常见的几种群

二面体群（Dihedral Group）D_n。由n边形的对称操作构成的群，对称操作包括旋转（Rotation）和翻转（Reflection）。|D_n|=2n。
对称群（Symmetric Group）S_n。数字{1, 2, ..., n}所有可能的排列之间的映射作为元素，操作符是映射的叠加，比如从{1,2,3}映射到{2,3,1}，记作φ。该元素满足φ³=e，即连续三次同样的映射得到单位映射，单位映射即为{1,2,3}->{1,2,3}。
循环群（Cyclic Group）Z_n。Z_n是{0, 1, ..., n-1}的集合，运算符为加法取模。
Z_n*。Z_n*由小于n且与n互质的元素构成，运算符为乘法取模。Z_n*是阿贝尔群，元素个数为φ(n)，φ为欧拉函数（Euler's totient function），表示正整数中小于n且与n互质的元素的个数。
四元数群（Quaternion Group）Q₈。
自同构群Aut(G)。G的所有自同构构成的群，运算符为同构映射的叠加。
魔方群（Rubik's Group）。由魔方的所有可能的旋转操作构成，是S₄₈的子群。
可逆矩阵群GL₂(R)。2×2可逆矩阵群。行列式为1的2×2可逆矩阵群记作SL₂(R)。

3.群的相关概念

元素的阶：自身相乘多少次可以得到单位元素。
子群：群的一部分元素构成的群。
陪集：gH即为子群H的左陪集，其中，g为群G的任意元素。同理，Hg为子群H的右陪集。
拉格朗日定理（Lagrange's Theorem）：子群的大小一定可以整除父群的大小。
阿贝尔群（Abelian Group）是满足交换律的群。所有的循环群都是阿贝尔群。
同态（Homomorphism）是对群的变换，把一个群映射到另一个群，变换前后群的运算性质不变。
同构（Isomorphism）是同态的特例，满足1对1映射的同态就是同构。一个群同构到自身时，称为自同构（Automorphism）。
商群（Quotient Group）：子群H的所有陪集构成的群称为商群G/H。商群中的元素为陪集，而不是G中的元素，因此相当于G对H求商，结果概括了G中陪集的分布规律。G/H成群的条件是，H为正规子群。
原根（Primitive root）：可生成整个群的元素。存在原根的群为循环的（cyclic）。
换位子（Commutator）：g^-1h^-1gh，其中，g和h都是G的元素。交换子刻画了g和h的相关性，当g和h不相关时，交换子为1，表现为g和h满足交换律，即gh=hg。
共轭（Conjugate）：若存在G中的元素x，使得h=x^-1gx，其中，g和h都为G中的元素，则称g和h共轭。共轭的两个元素可以当做是在不同位置做同样的事情，而x起到了变换位置的作用。
正规子群（Normal Subgroup）：一个子群是正规子群的充要条件有三种等价表述形式，对于群G中的元素g和正规子群N，满足(1)gNg^-1=N; (2)gN=Ng; (3)gng^-1是N的元素。
中心化子（Centralizer）：H是G的子群，H的中心化子C_G(H)是对于任意h都满足gh=hg的g的集合。
正规化子（Normalizer）：H是G的子群，H的正规化子N_G(H)是满足gH=Hg的g的集合。C_G(H)是N_G(H)的正规子群。
集合的基数或势：集合中不同元素的个数。
核（Kernel）：G同态映射到K，所有映射到K中单位元素的g的集合称为该同态映射的核，记作ker(f)。
像（Image）：G同态映射到K，所有g映射到K中的元素k构成的集合称为该同态映射的像，记作Im(f)。
第一同构定理：G同态映射到K，记该同态映射为f，则G/ker(f)同构于Im(f)。
第二同构定理：H和N是有限群G的子群，N是正规子群。那么HN/N同构于H/(H∩N)。当H∩N={1}时，HN/N与H同构。
第三同构定理：N是G的正规子群。则(1)G中包含N的子群与G/N的子群具有一一对应关系，对应关系为，G中包含N的子群K与G/N的子群K/N对应；(2)该对应关系保留正规性质，K是G中的正规子群，当且仅当K/N是G/N的正规子群；(3)该对应保留商性质，如果K是正规子群，那么(G/N)/(K/N)同构于G/K。
凯莱定理（Cayley's Theorem）：任意大小为n的有限群都同构于一个对称群S_n的某个子群。
Group Action：群的元素可以看做作用在某个集合上的动作，或是对某个集合中元素的变换，记作G×X，g对x变换后得到的元素仍属于X。例如，Z_n是作用在小于n的正整数集合上的动作的集合，S_n是作用在Rⁿ中的n维向量上的动作的集合。
固定点（Fixed point）：G作用在X上，g的固定点x满足gx=x，也就是在g的变换下不变的点x。
稳定化子（Stabilizer）：G作用在X上，x的稳定化子是满足gx=x的所有g的集合。
轨道（Orbit）：G作用在X上，x的轨道是对于任意gx=y中y的集合。
轨道-稳定化子定理（Orbit-Stabilizer Theorem）：若G_x是x的稳定化子，O_x是x的轨道，那么|G_x|*|O_x|=|G|。

4.群论的应用

证明费马小定理（Fermat's little theorem）：对Z_p*应用拉格朗日定理可得。
证明威尔逊定理（Wilson's theorem）：Z_p*中除了p-1的阶为2，其它非平凡元素的阶都大于2，因此这些元素都可以找到配对的逆元素，每一对配对的元素的乘积都为1，因此所有元素的乘积等于p-1。

参考资料

Group Theory Brilliant
《代数学引论（第一卷）基础代数》柯斯特利金
《代数学引论（第三卷）基本结构》柯斯特利金