牛顿-拉弗森法则

今天看到了知乎马同学的回答，https://www.zhihu.com/question/20690553，马同学的介绍浅显易懂，很喜欢。第一次知道了牛顿-拉弗森法则，自己总结记录一下。

牛顿-拉弗森法则是基于一条定理：

切线是曲线的线性逼近。

曲线上某点的切线.png

用途

五次及以上多项式方程没有根式解（就是咩有像二次方程那样的万能公式），这是被伽罗瓦用群论做出的著名结论

该法则用于求解高次方程的根，即高次方程与x轴的交点的位置。

迭代过程

迭代过程.png

如上图所示，随便选取一个点A，作该点处的切线，与x轴交于一点，在这点处做一根垂线，与曲线交于B点。再由B点重复刚才的步骤

四次迭代后.png

代数解法

已知曲线方程f(x),在Xn点作切线，求Xn+1，
易得出Xn点处的切线方程为：y = f(Xn) + f'(Xn)(X-Xn)
Xn+1 即 f(Xn) + f'(Xn)(X-Xn)=0的解，即：

迭代公式.png

收敛的充分条件

在待求的零点x周围存在一个区域，只要起始点X0位于这个邻近区域内，那么牛顿-拉弗森方法必定收敛
在某些点不收敛，要谨慎选择起始点

举个栗子

求根号3，精度在0.00001以内，保留两位小数
x^2 = 3
f(x) = x^2 - 3
随意选择一个初始x值，Xn+1 = X - (X^2 - 3) / (2X)