前言
微积分考试分为AB与BC，与AB相比，BC包含的内容更多、难度更高。
考点包括极限、微分、积分（不定积分、定积分）、微分方程、级数（AB无此部分）、应用。
1
极限部分
这部分是微积分的基础，包含：
（1）会判断极限存在或不存在，当极限存在时，如何求出该极限
（2）利用极限刻画函数的形态——渐近线（asymptote），研究函数的性质——连续性（continuous）。
1.1极限存在的判定标准：左极限与右极限均存在且相等
1.2求极限的方法
求a：先将a代入表达式，如果可以求出某一确定的数值，则该数值即为此函数的极限。
1.2.1 有理函数（rational function）
一般来说都是0/0或infinity/ infinity的形式，
求a：通过因式分解将0因子约掉。
求无穷大（infinity）：分子分母同时除以该式子的最高次项。
另外也可用L’Hopital’sRule来做。
1.2.2 洛必达法则（L’Hopital’s Rule）
具体使用时，如果所求极限是0/0或infinity/ infinity的形式，可以将分子分母两部分分别求导，再计算求完导数之后的极限。
1.2.3 等价无穷小代换
这一方法大部分国外教材与辅导书（James，Thomas，Finney，Barron）都未提及，但掌握之后会给运算带来相当大的便利。
1.2.4 幂指函数
即
这种类型的函数，做法是通过ln将其变换成指数型函数来进行运算。
1.2.5
0乘有界等于0
1.3 对于极限不存在，需要掌握左右极限不相等、无穷大和震荡三种
1.4 极限的应用
1.4.1 函数的连续性（continuity）
如果函数在某一点的极限值等于函数值，则称该函数在这一点连续。判断函数在某一点是否连续，必须要分别考察其左极限与右极限，如果左极限与右极限相等则说明极限存在，进而与该点的函数值比较，如果相等即为连续，不等即为间断。
1.4.2 间断点的类型（discontinuity）
一共分为三种removable，jump，infinite
1.4.3 当函数在某一闭区间上连续时，则有三个定理
（1） The extremevalue theorem (EVT)
（2） Theintermediate value theorem (IVT)
（3） The zeropoint theorem (Bolzano theorem)
1.4.4 渐近线（asymptote）
分为水平（horizontal）与垂直（vertical）。
其中水平的求法是分别求两个infinity的极限，如果存在则可判定有水平渐近线。
垂直的求法是求某一点的极限，如果该极限等于无穷（infinity），则可判定通过在这一点存在垂直渐近线。
水平（horizontal）：
垂直（vertical）：
2
导数与微分
这一部分的核心在于如何求出一个函数的导数及导数的应用。
2.1 导数与微分的定义
简单来说，导数是切线的斜率（slope），微分是切线的改变量。
2.2 求函数不同表示形式的导数
显函数，反函数，复合函数，隐函数，参数方程，极坐标
形式求法
显函数直接利用公式和运算法则
反函数
复合函数Chain rule或微分形式不变性
隐函数Chain rule或微分形式不变性
参数方程微分
极坐标微分
要注意的一点以哪个变量为基准求导数，默认是x，但也有特殊情况，如respectto sinx，则是将sinx看成一个整体进行求解。
2.2 高阶导数
它是在导数的基础之上再求一次导数，常用的是二阶导数（second derivative）
2.3 导数的直接应用
导数的直接应用是求切线和法线。
求切线的时候需要注意的是所给的点是否在已知曲线上，如果在则可直接求导代数求出切线斜率（slope），如果不在则需要先设出切点，而后通过解方程的形式把切点和斜率解出来，从而得出切线。
2.4 可导与连续
在某一点可导必然连续，而连续则不一定可导。
2.5 中值定理（mean value theorem）
从几何图形上来看，当函数在闭区间上连续、开区间内可导时，必然存在一点c使得过c点切线的斜率等于端点连线的斜率。
利用中值定理可以对函数进行估值和给导数估值。
3
导数与微分的应用
3.1 函数与导数的关系
函数的增减性可由一阶导数的正负来判断，凹凸性可由二阶导数的正负来判断。
3.2 驻点与拐点（critical and inflection point）
不同的教材对这两个点的定义不同，我们这里采用比较通用的
3.3 求函数在某一闭区间上的max and min
极值（local/relativemaximum and minimum）：邻域内最大或最小
最值（global/absolutemaximum and minimum）：整个区间内最大或最小
对local来说，步骤如下：
（1）求出一阶导数等于0和不存在的点
（2）利用一阶导数是否改变符号和二阶导数的正负来判定。
对global来说，步骤如下：
（1）求出一阶导数等于0和不存在的点
（2）求出所有的函数值，最大的即为global max，最小的即为global min。
3.4 物理应用：运动
运动分为直线运动与平面运动，最原始变量为位置函数，由位置函数来定义位移（displacement）和路程（distance），在位移（displacement）的基础上定义速度（velocity）和速率（speed），在速度的基础上定义加速度（acceleration）。
平面运动的位置函数用向量（vector）来表示，因此后面所有的变量都是向量的形式。
直线运动的主要问题
（1）求加速与减速区间
（2）求在哪一时刻改变运动的方向
（3）求某一时间段内的路程（distance）
平面运动的主要问题
（1）速度向量、速率和加速度向量
（2）求某一时间段内的位移（displacement）和路程（distance）
3.5 相关变化率
这一部分是应用题，现实生活中的某一个量随时间变化而变化，进而求:
（1）某一时刻该量的瞬时变化率
（2）某一时间段内平均变化率
（3）某一时间段内的累积量（积分的应用）
4
不定积分和定积分
4.1
与导数类似，不定积分这一部分主要是它的求法，基本的积分公式与运算必须非常熟练。
（1）换元法（substitution）：将被积函数的某一部分用另外的变量代替，从而将被积函数化简，使用积分基本公式得出结果。
（2）分部积分法（integral by parts）：适用于求两类不同函数乘积的积分，核心是通过交换来改变被积函数，从而将难求的变成容易求的。
（3）有理函数积分：对于分母是1次和2次的形式有固定的套路，掌握即可。
4.2 定积分
1.黎曼和（Riemann sum）
使用近似逼近的方式来求面积，常用的是左端点、右端点、中点、梯形来做估计，步骤如下
(1）将区间等分成n份（也可不等分）
(2）按照预先设定的规则求出每一部分的面积
(3）加总。
利用黎曼和对定积分或面积进行估值，需要比较估计值和真实值的大小，可比较的是左端点、右端点和梯形三种估计方法，中点由于大小不易确定，较少出现。
黎曼积分则是在加总之后求极限，那么该极限值应该等于图形面积的真实值，也就是定积分的值（黎曼可积）。
2.求定积分的基本方法
牛顿-莱布尼茨公式，使用该公式时先求不定积分，再代入数值，因此不定积分的方法都可以在这里使用。但是需要注意的是，使用换元法的时候，变量的取值范围会发生变化。
3.求定积分的特殊方法
（1）对于某些规则图形（三角形、圆等）可用其几何意义直接算出面积，再利用定积分和面积之间的关系来求
（2）利用奇函数和偶函数的性质来求。
4.积分中值定理
求函数在某一个区间上的平均值或积分中值，使用如下公式即可。
5.变限积分
当被积函数确定时，积分值会随着积分区间的变化而变化，因此可将积分值看做积分区间的函数，其中需要掌握的是变限积分的求导。
6.反常积分（improper integral）
当积分区间不是有限区间（即包含无穷大）或积分区间会使被积函数为无界的时候，求积分需要用到极限，如果极限存在，则称积分收敛（converge），不存在则称为发散（diverge）。
5
定积分的应用
求面积、体积、弧长
5.1 面积
求平面曲线围成的平面图形的面积，一般来说是给定一条或若干条曲线，求它与x轴、y轴或其他直线或曲线围成图形的面积。
对于直角坐标系，使用定积分的几何意义来求，但需要注意的是面积永远是正数，而积分值有正有负，因此当函数大小关系或区间的边界发生变化时，要注意区别对待。
5.2 极坐标求面积
面积公式与直角坐标不同，特别需要注意的是积分的范围，如果不好判断，可用半径来反求角的范围。
5.3 体积：
求平行截面面积已知的立体图形的体积和旋转体体积，第一种图形对截面面积求积分可得体积，第二种图形有两种求法，第一种也是对截面面积求积分，不过要注意旋转截面是实心圆还是圆环，第二种是利用shell来求，掌握好展开后的圆柱壳的长宽高即可。
5.3 弧长
弧长公式用四种，一般来说在考试中如果是不允许使用计算器的部分，只会要求考生列出计算公式，不要求算出数值，而允许使用计算器的部分则可利用计算器来计算弧长的数值。
6
微分方程
6.1 解微分方程：
对变量可分离的微分方程，解法是将x和y分离后，等式两边同时求积分。
6.2 斜率场（slope field）
根据微分方程原函数每一点切线斜率计算出来，而后将与该点切线斜率相同的线段画在坐标系中，由此所形成的图形即为斜率场。斜率场所描绘出的图形即为微分方程的解。
6.3 增长模型
分为三种：
指数型增长（exponentialgrowth）
有限制的增长（restrictedgrowth）
逻辑斯蒂增长（logisticgrowth）
6.4 欧拉估值（Euler’s method）
多次使用中值定理进行估值，此时c不再任取，而是固定取每一步的起始值。
7
级数（series）
级数共分为三部分：
无穷级数（infiniteseries）、幂级数（powerseries）、泰勒级数（Taylorseries）。
7.1 无穷级数
分为正项级数（positive）、交错级数（alternating）。
这部分的核心是如何判断一个级数是收敛（converge）还是发散（diverge）。
1正项级数（positive）
判别法有三类五种，分别是积分（integral）、比值与根值（ratio and root）、比较及极限（comparison and limit comparison）。
2交错级数（alternating）
莱布尼茨准则（Leibniz）
收敛（converge）分为绝对收敛（absolute converge）和条件收敛（conditional converge）。
3 判定顺序
（1）将级数加绝对值取正
（2）对通项求极限，若极限不等于0，则可判定为发散，若等于0，则（2.1）利用积分（integral）、比值与根值（ratio and root）、比较及极限（comparison and limit comparison）判定，若收敛，则原级数绝对收敛，若发散，则（2.1.1）若原级数为交错级数，利用莱布尼茨准则判断，若收敛，则为条件收敛，否则为发散。
7.2 幂级数
利用比值法求出收敛半径（radius of convergence）和收敛区间（收敛域）（interval of convergence）。
幂级数的性质：
幂级数在收敛区间内（1）连续（2）可微（3）可积。
7.3 泰勒级数
（1）将函数展开为泰勒级数
（2）求泰勒级数的和函数。
AB与BC考点对比
ABBC
limit主要考察如何求limit与AB考点相同
differentiation (derivative)求一个给定函数的derivative在函数的形式中，较AB多了implicit, parametric and polar function
applications of differentiation利用derivative求函数的max min，以及解决实际问题在motion中多了二维运动，求切线中增加了求polar形式的切线
antidifferentiation求 antiderivative多了 by parts方法和求有理多项式的积分
definite integral重点考察求定积分、Riemann sum，变限积分求导数，motion along a line增加了求参数形式的定积分，arc length, improper integral and motion along a plane
applications of integral求面积、体积，直线运动求面积、体积、弧长、直线运动、平面运动
differential equationslope field和 growth model增加了 Euler’s method和 logistic growth
series无infinite series，power series and Taylor series
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