N个鸡蛋从M楼层摔

前言 

今天参加笔试的时候遇到一道算法题, 39层的大楼上存在某一层是临界值,低于此楼层的扔下玻璃珠就会没事,大于等于这层就会碎.有两个玻璃珠,怎么确定这层楼?

刚开始思考,二分查找?肯定是错的,因为毕竟只有连个玻璃珠,只能判断两次,遇到最坏情况就无法判断. 更进一步思考,可以将39层均分为n段,每段假设长度为x.第一次在x层扔下,如果碎了就只能用另外一颗玻璃珠便利1~x-1层来判断.如果没碎,就在2x层扔下,如此进行下去进行判断.本以为这是不错的想法.但是看到别人分享的答案,感觉智商简直被碾压了,这么简单都没想到.

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原文链接:http://m.blog.csdn.net/article/details?id=47057707

一、题目：

有一栋楼共100层，一个鸡蛋从第N层及以上的楼层落下来会摔破， 在第N层以下的楼层落下不会摔破。给你2个鸡蛋，设计方案找出N，并且保证在最坏情况下， 最小化鸡蛋下落的次数。

二、思路：

先假设，最小的次数为x次。

首先在x层摔，那么会出现两个结果：

1、碎了，为了找出那一层碎了，第二个鸡蛋必须从1~x-1进行遍历的摔

2、没碎，那么第二次就在x+(x-1)楼层摔。

为什么是x+x-1楼层呢？

首先我们已经假设了通过x步我们就能得到答案，现在我们在x层已经用了一次了，那么就只剩下x-1步了。所以我们选择x+(x-1)层，如果碎了，我们就能通过x-2步，遍历x+1~x+(x-1)-1的所有楼层。

3、如果在x+(x-1)楼碎了，那么同1，遍历x+1~x+(x-1)-1

4、没碎，那么同2，就在x+(x-1)+(x-2)层摔

…

最后我们将会得出这样一个楼层公式x+(x-1)+(x-2)+…+1 = x(x+1)/2。

这个公式有什么意义呢？

有， x(x+1)/2 >= 100，这样才能顺利的解除x。

有人说，x(x+1)/2 = 99就可以，如果鸡蛋在99层都没碎，那么必定是100层。我想说谁告诉你记得一定会碎！

那么我们就顺利的解除 x=14。

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三、扩展

此题还有一个扩展，就是为N个鸡蛋从M层摔找出最小值。

那就不是很好手解了，所以写了代码，使用动态规划原理。动态规划式子如下：

f[n][m] = 1+max(f[n-1][k-1],f[n][m-k]) k属于[1,m-1]

解释下原理：

1、当手里有n个的时候，鸡蛋从k层往下摔，如果破了，那么手里只有n-1鸡蛋了，那么就需要测试f[n-1][k-1]楼层。或者更通俗好理解点的，我们运用2个鸡蛋100楼层的题目举例子。以上式子变为：f[2][m] = 1+max(f[1][k-1],f[2][m-k])

那么当手里有2个鸡蛋的时候，在k层摔，碎了。那么现在手里也就只有一个鸡蛋了，此时我们必须遍历1~k-1找出第一次碎的楼层。所以为1+f[1][m-k]，前面的1代表在k层的操作。

2、没破，那么手里还有n个鸡蛋，那么需要测试k+1~m这些楼层。

此时我想问下，当手里有2个鸡蛋测试1~m-k层和手里有2个鸡蛋测试k+1~m有什么区别？

有人说有，因为楼层越高越容易碎，那其实是你个人的想法罢了。其实并没有区别，所以第一个公式可以写为f[n][m-k]。

最后附上代码，为了理解方便，而不必从数组从0开始而困扰，这里就空间多开了点，所以如果拿去用的话，可以优化下：