内容概述

本节首先以和空间为例，引入了向量的概念、向量的几何表示，并介绍了向量的一些基本运算和性质，例如向量的加法和标量乘法、交换律、结合律等。接着引入了线性组合的概念，并将线性组合和线性方程组结合了起来。

中的向量

仅含一列的矩阵称为列向量，或简称向量。举例如下：
，
所有两个元素的向量的集记为，表示向量中的元素是实数，而指数2表示每个向量包含两个元素。
中两个向量相等当且仅当其对应元素相等，因为中的向量是实数的有序对。

给定中两个向量和，它们的和是把和对应元素相加所得的向量。例如，和两个向量的和是

给定向量和实数，与的标量乘法是把的每个元素乘以，所得向量记为。
例如，
若

则

因为平面上每个点由实数的有序对确定，所以可把集合点与列向量等同。因此，可把看作平面上所有点的集合。
若中向量和用平面上的点表示，则对应于以, 和为三个顶点的平行四边形的第4个顶点。

平行四边形法则.png

中的向量是列矩阵，有3个元素，它们表示三维坐标空间中的点，或起点为原点的箭头。

R3中的向量.jpg

若是正整数，则表示所有个实数数列（或有序元组）的集合，通常写成列矩阵的形式，如：

所有元素都是零的向量称为零向量，用表示（中元素的个数可由上下文确定。）
下列是中向量的代数性质：

=

给定中向量和标量，向量

称为向量以为权的线性组合。
从几何上来说，线性组合可以认为是不同向量拉伸和压缩之后的和。

线性组合的几何意义.jpeg

下面的例子把线性组合与前面几节（1.1节、1.2节）的存在性问题联系起来。
设，，，确定能否写成和的线性组合，也就是说，确定是否存在和，使得

若该向量方程有解，求它的解。
解：该向量方程可以写为：

写成矩阵形式为：

化为简化阶梯形为：

其解是，因此是与的线性组合，权为：和。

由上例可以得到如下的结论：

向量方程：

和增广矩阵为：

的线性方程组有相同的解集。特别的，可表示为的线性组合当且仅当对应于上述线性方程组有解。

线性代数的一个主要思想是研究可以表示为某一固定向量集合的线性组合的所有向量。

定义：

若是中的向量，则的所有线性组合所成的集合用记号表示，称为由所生成（或张成）的的子集。也就是说，是所有形如

的向量的集合，其中为标量。

要判断向量是否属于，就是判断方程

是否有解，或等价的，判断增广矩阵的线性方程组是否有解。

由以上定义，得出两个结论：

假设是中的向量，那么就是的所有标量倍数的集合，也就是中通过和的直线上所有点的集合。

若和是中的非零向量，不是的倍数，则是中包含,和的平面。特别的，包含中通过与的直线，也包含通过与的直线（由上面的结论也可以得知这一点）。

向量张成的空间.jpeg

还有一点需要注意的是，虽然只是一条线，只是一个平面，但并不是说就属于，就属于了，它们仍属于，是的一个子集而已。

设公司生产两种产品，对于1美元价值的产品，公司需耗费0.45美元材料，0.25美元劳动，0.15美元管理费用。对1美元价值的产品，公司耗费0.40美元材料，0.30美元劳动，0.15美元管理费用。设：

则和称为两种产品的“单位美元产出成本”。

由这个例子，可以体悟到，中的，也就是维度，可以代表现实中事物的不同方面（或者成分）。不同的向量可以代表做一件简单事情（或称基本事件，元事件）时，各个方面是如何配合的。而这些向量的组合（也是一个向量），又可以代表做一件复杂的事情时，如何由元事件搭配起来。