Atcoder/Topcoder 理论 AC
Atcoder的❌游戏示范
- 兴致勃勃地打开一场 AGC
- 看 A 题，先 WA 一发，然后花了一年时间 Fix。
- 看 B 题，啥玩意？这能求？
- 睡觉觉。
emmmmm 虽然这些副本里的怪一点也不友善，但是却能给直感[1]带来极大的提升。
[1]：「直感」是在战斗中一瞬间判明「对自身最适合行动」的能力
Atcoder Grand Contest 2
B. Box and Ball
口胡 考虑 \(k\) 次操作后可能出现红球的集合，记录每个集合球的个数。
C. Knod Puzzle
口胡 考虑合体，若 \(max\{a_i+a_{i+1}\}
D. Stamp Rally
口胡
- 二分加入多少条边，能解决一组查询，复杂度 \(O(Qmlog(m))\)，然后发现每次二分都加边十分智障。
- 对 Q 组查询整体二分即可。用三元组
l,r,vector<>表示，vector<>里的答案在 \([l,r]\) 之间。 - 对线段树进行 BFS 层序遍历，先解决答案小的询问，也就是先加入右儿子，这样每层都需要要初始化并查集，然后加入每条边。
Atcoder Grand Contest 03
B. Simplified mahjong
题解中的做法
- 考虑 \(a_i>0\) 的 case，按牌的点数 sort，能取到上界 \([\frac{sum}{2}]\)。
- 考虑 \(a_i=0\) 的 case，把点数连续的牌，独立考虑。
口胡
- 观察到 \(i,i+1\) 这样的匹配至多只有 1 个。
- \(dp[i][0/1]\) 考虑点数 \(1\)~\(i\) 的牌，第 \(i\) 有没有与 \(i-1\) 匹配，最大匹配数。
C. BBuBBBlesort!
口胡
- 注意到操作 2 能独立地 shuffle \((a_1,a_3,a_5,...),(a_2,a_4,.....)\)
- 每个元素，都有应该出现的位置，如果应该出现在奇数位置的元素，出现在偶数的位置上，那么我们应该对着它施展操作 1。
D. Anticube
口胡
- 放逐小的质因子，分类讨论剩下的大质因子。vanishiment this world !
E. Sequential operations on Sequence
口胡
- \(a_i > a_{i+1}\), 那 \(a_{i}\) 在划水！
- 倒序考虑，每个数字找到上一个比它小的元素，单调栈线性时间即可求出。
- 于是剩下一个递增的序列 \(q_1,q_2,...,q_m\)，考虑 \(f(i,len)\) 表示 \(q_i\) 的串长度为 \(len\) 的前缀。寻找一个前驱可递归地表示 \(f(i,len)\) 这个串。
- 口胡这场比赛之前在学欧几里得，取模! 很强!。
- 复杂度 \(O(NlogNlogMAX)\)
- F0_0H 先手随手一写就 TLE 了。
- F0_0H 再随便一改就过了，HYNB！
F. Fraction of Fractal
口胡
- 观察两个 k=1 的矩阵。分类成 2 * 2 种 Case
- 两个矩阵左右放置黑格能否连通。
- 两矩阵上下放置黑格能否连通。
- 1，2 都成立。\(ans=1\)
- 1，2 都不成立，\(ans=x^{k-1}\)
- 猜测上下的连通性，左右的连通性在 \(k>1\) 级能一直 keep
- 啊啊啊啊啊啊啊，好难不会，看题解去。
题解
- 很接近了。
- 不妨设 1 成立，2 不成立。
- 考虑 \(k-1\) 级变成，\(k\) 级的过程。
- 设 \(k-1\) 中有 \(x\) 个黑格，\(y\) 个左右相邻的黑格。那么 \(k\) 级中，有 \(x-y\) 个连通块
- 矩阵快速幂求 \(k\) 级中，有多少个左右相连的黑格，左边界右边界有多少个连接点。
Atcoder Grand Contest 4
B. Colorful Slimes
口胡 枚举一共施展了 \(x\) 次 shift，那么 \(i\) 可以由 \(i,i-1,i-2,...i-x\) 获得。
C. AND Grid
口胡 注意到最边上这圈为空，统统连起来吧。
D. Teleporter
做法
- 让 1 指向 1，否则解体。否则可以按 1 到 1 的极短环的长度 \(len\) 划分成 非空的 \(len\) 个集合，这些集合中，至多只能有一个符合 k 步到 1 的要求。
- 问题转化为：给一棵树，修改最少的节点的爸爸，使得树的深度小于 \(k\)
- 自下向上考虑即可。【HYNB】
E. Salvage Robots
口胡
- 考虑移动的过程，我们记录下 x 方向上位移极小极大，y 方向上位移极小极大，与当前位移。
- \(f[min_{dx}][max_{dx}][min_{dy}][max_{dy}][dx][dy]\) 表示在这个状态下最大得分。
- 然后一想，这状态没法转移，因为我从一个状态移动一下不知道能不能吃到东西啊。
- 再一想，这状态设计很沙雕啊，最后两维没必要，因为确定了横纵坐标位移的极小极大，某个矩形区域内的所有东西都可以吃掉啊，根本不用，care现在位移是多少。
- \(f[min_{dx}][max_{dx}][min_{dy}][max_{dy}]\) 设计状态。
- 考虑转移一个状态的转移至多有 4 种，\(f[min_{dx}][max_{dx}][min_{dy}][max_{dy}]\) -> \(f[min_{dx}+1][max_{dx}][min_{dy}][max_{dy}]\)。状态 State 有可以随便吃的泡泡集合\(canEat(State)\)，考虑 \(f(cur) = max\{ f(prev) + |canEat(cur) - canEat(prev)| \}\)
- 注：集合 A - 集合 B 表示对称差
卜
- 往枚举方向想，很容易解体，虽然枚举是很直观的做法。
- 试图走直线直接奔赴结果，不失为一种策略，但是容易撞墙上。
- 这个问题枚举不妥，是因为操作的有序性。
- 一道计数题：容斥？枚举？解体。
- 人生如棋，世事难料，笑尽英雄啊。【乱入的「百世经纶·一页书」(｀･ω´･ )v】
- 在难测的棋局中，寻找决定性的因素何在，是为设计状态的动机。
- 研究决定性的因素的转化，使一切尽在掌控之中，这是状态转移。
- DPNB！
F. Namori
口胡 啥也没想到，脑壳痛。老想着拿树形 DP 解决问题，但无法把子树合并到父亲。为什么呢？因为操作有序性。
- 有趣了，上一个题因为操作有序性，枚举做不了，要 DP。
- 这里操作有序性，DP 直接解体。
- 这是为什么啊？
- 这是因为 DP 会把一个问题，分解成好多个子问题，先然后解决子问题，再合并子问题答案。
- 但是，这里，子问题不认为自己是子问题。u 节点的子树认为自己受到了不公正的对待，它不满地表示：凭什么要我先弄好颜色，你们先施展，我先睡觉觉。
- 然后就解体了。
题解 for small
- 树是二分图，先把右集的点全都变成黑色。
- 于是现在：『选择两个同色的点』修改为『选择两个异色的点』
- 在左集的每个点放硬币，问题转化为，「可以花 1 的代价，把硬币移动到相邻的没有硬币的节点上」。
- 考虑一条边会被经过几次，某子树内现在有 \(x\) 个硬币，需要 \(y\) 个硬币，那么有 \(|x-y|\) 个硬币经过了这个点向爸爸的边，由此可以确定答案的一个下界。
- 证明下界可以取到。【还没看，先试着自己证一下】
- 利用树是二分图，扭转一个集合的颜色，使得同色->异色。极具创造性的转化！
- 变成挪硬币问题，天马行空般的想象。
- 再加上一段证明，精彩的问题！
Atcoder Grand Contest 5
C. Tree Restoring
做法
- 画直径。
- 其它点与直径上的点相连。
D. ~K Perm Counting
做法
- 容斥，考虑 ban 掉 \(i\) 个条件的方案数。
- \(x\) 向 \(x-k,x+k\) 连边，不存在奇环，二分图！
- 求 i-match 即可。
- 连接的边形成 2k 条链，每条链长度为 \([\frac{n}{k}]-1\) 或 \([\frac{n}{k}]\)
- 对每条链做 dp, \(f[i][j][0/1]\) 表示前 \(i\) 条边，拿 \(j\) 条，最后一条有没有拿的方案数。
- 把这些链背包合并起来，合并 \(O(k)\) 次，一次代价为 \(O(\frac{n}{k}n)\)，复杂度 \(O(n^2)\)
E. Sugigma: The Showdown
题意 两棵树，Alice 追 Bob
做法
- 如果 Bob 的某条边，在 Alice 的树中距离大于等于 3，那么 Bob 走上这样的边，或者 Bob 比 Alice 走上这样的边的端点时间更短，那么游戏就永远不会结束，而 Bob 非常希望这样的情况发生。
- 考虑 Bob 剩下的边，剩下的边在 Alice 的树中距离等于 1 或者 2.
- 考虑 Alice 的策略，每步都逼近 Bob 是最优的。
- Bob 能到达 \(u\) 点，等价于路径上所有点都能比 Alice 先到。
- 在可以到达的点集中，选出最优的点。（能 inf 就 inf 否则选出距离最远的点。）
F. Many Easy Problems
做法
- 考虑一个确定的 \(k\) 如何 \(O(n)\) 计算答案。
- 考虑每条边对答案的贡献即可。
- 点 \(u\) 向父亲的边对答案的贡献为 \(\binom{n}{k}-\binom{x}{k}-\binom{n-x}{k}\), \(x\) 表示，\(u\) 子树的大小。
- 计算长这样的东西 \(f(k)=\sum_{x=k}^{n} c_x\frac{x!}{k!(x-k)!}=\frac{1}{k!}\sum_{x=k}^{n}c_xx!*\frac{1}{(x-k)!}\)
- NTT 解决之。
code
Atcoder Grand Contest 005
B. Median Pyramid Easy
题意 梯状图，在最底层填入一个排列，能否使得最顶上的数字取到 \(x\)
做法
- 观察小 Case
- 构造思想是：把需要构造的数字 \(x\) 放在中间，比它小的放左边，比它大的放右边。这样才能保证 \(x\) 始终是中位数。
- 左边太多？移动至右边。
C. Rabbit Exercise
题意 好多兔子跳来跳去，每次第 \(x_i\) 只兔子随机选择 \(x_{i-1},x_{i+1}\) 号兔子，跳至对称点。
做法
- 不变的存在，是什么呢？
- \(x_{i-1},x_i,x_{i+1} => x_{i-1},x_{i-1}+x_{i+1}-x_i,x_{i+1}\)
- 交换公差！
- 求出一次变换的置换，求 \(k\) 次幂即可。
D. Median Pyramid Hard
题意 梯状图，在最底层填入一个排列，求上层填什么。
做法
- 二分答案 \(x\)，于是数字分成 \(<=x\) 的数字（标为 0）和 \(>x\) 的数字（标为 1）。
- 于是只需考虑一个 01 序列的答案【】。
- 观察发现，如果 \(a_n=a_{n+1}\) 或者 \(a_n=a_{n-1}\) 答案一定等于 \(a_n\).
- 一个暴力直接的思路是，模拟，直到 \(a_n=a_{n+1}\) 或者 \(a_n=a_{n-1}\) 成立。
- 一个优化是，考虑跨过 \(a_n\) 的极长的01交错排列子串（such as “010101”）， 每次长度都会 -2，因此可以 \(O(1)\) 解决【】。
E. Rotate 3x3
题意 给一个 3*n 的矩阵，每次可以旋转 3*3 的矩阵，求两个矩阵能否相互转换。
做法
- 先把每列的元素弄成相同。
- 可以打表或者手推，发现 【a,b,c,d,e -> A,b,C,d,e】，【a,b,c,d,e】->【a,B,c,D,e】
F. Blackout
题意 平面直角坐标系，\((x,y)\) 有点，\((y,z)\) 有点，\((z,x)\) 可添加一个点，求最多能添加几个点。
做法
- 先转化为一个图论问题，把 \((x,y)\) 看出，\(x\) 连向 \(y\) 的一条边。
- 试着观察一条链的 Case，1->2->3->.....->n，获得结论: u 向 v 连边那么 v%3=(u+1)%3
- 考虑每个弱连通块，
- 如果点集可以被划分成三个非空集合 A，B，C，使得所有边都是 A->B,B->C,C->A。那么 A，B 集合两两右边，B，C 集合两两有边，C，A 集合两两右边。
- 如果不能，那么两两有边。
Atcoder Grand Contest 006
B. Construct Sequences
题意 给排列 \(p\)，构造两个序列使得 \(a_{p_1}+b_{p_1}
做法
- 将 < 视为等号。
- \(a\) 为递增等差数列，\(b\) 为递减等差数列，公差为相反数。
- 调整下 \(b\) 即可。
Atcoder Grand Contest 36
B. Do Not Duplicate
做法
- 关注进入空栈的元素。
- 对于每个这样的元素 x，我们可 get 到，下一个这样的元素 nex
- 倍增。
C. GP 2
口胡
精妙的组合问题。
- 考虑一个序列是否合法的充要条件，
- \(\sum_{i=1}^{n}{c_i}=3m\),
- \(Max_{i=1}^{n}c_i \leq 2m\)
- \(c_i\) 中奇数不超过 \(m\) 个。
- 先不考虑条件 2，枚举奇数个数，统计答案。
- 容斥减去违反条件 2 的方案数。