球差，正弦条件

转面倍率

现在讨论最简单的像差，即轴对称光学系统轴上点发出的光束的像差，我们可以在球面上作出与光轴同心的圆周带，由于对称性，通过同一带的光线折射后必相交于光轴同一点，因之只须用一个量即可表征这种光束的特性。通常采用远轴光线截距与近轴光线截距之差数，称为轴向球差。

为算出同轴球面光学系统的球差，只须应用远轴光线光路，近轴光线光路计算公式算出相应的值即可。但如前所述，为看出各个折射面对最后结果的贡献，须先选择一个适当的轴向球差倍率。

轴向球差即是轴向的截距差，因此倍率应以轴向小线段的理想倍率作为其近似值：

2a 2b

3a 3b

我们以后将会看到，初级像差理论中直接就是以（2）式作为轴向像差的倍率的。

由于角度在转面时不变，因此以角度作为倍率的组成部分如2a,3a是较合宜的，在转过多个面时，中间的角度都相消去，只余下最初和最后的角度；包括截距的倍率公式2b,3b就没有这种简便的性质。

利用轴向球差的倍率，可以得到球差分布公式。

球差分布值与ni成正比，这表示球差分布值是与“参考的”之选择有关的（所谓参考点就是与任意光线光路相比较的理想物点和像点），这种关系是合理的。

折射产生的球差分布值与折射产生的光程差非常相像，其差别仅在于以sin I 代替了 i ，并增加另外一串余弦乘积为分母，因之折射产生的球差分布值几乎就是光程差，这一点是可以由球差分布值相加得到最终球差值得旁证。

重要结论

就像需要以高斯光学作为成像特性的粗略讨论的依据一样，像差理论的合理基础是可供解析讨论的粗略理论----初级像差理论。就如高斯光学一样，粗略的轮廓的描述是更具原则意义的基本理论。初级像差理论是从高斯光学走向细致和完整的一步，而高级像差理论则又是它的补充。

12 球差分布值S-

现在我们设远轴光线也充分靠近光轴，近轴光线则与它在同一点发出并且初始角U1=sinU1,则当略去高次小量时，可将上式中所有远轴光线量以近轴量代替而得出球差的近似表达式：

初级球差表示式

在导出初级球差表示式时，我们作了一些假定，基本要求是远轴光线充分靠近光轴。于是，第一，12式中可以实现数学近似，误差可略去不计。其次，可用初始数字相近的近轴光线量代替实际量。

当光线离轴较远是，按上述假定得出的表达式就有显著误差，我们称这个误差为高级球差。按上述分析，引起高级球差的原因有二，我们称其一为本征的，意指它的球面固有特性；称其二是衍生的，意指它是由于入射光束已有像差的派生结果，是可有控制入射光束像差而变化的。

结论：

（1）二级球差与初级球差成正比

（2）二级本征球差恒与初级球差同号

（3）二级本征球差的相对值与折射球面的相对孔径成正比

（4）无论i或u增大，都将引起二级本征球差

这些定性的结论对于判断一个光学系统的像差产生状况是很重要的。由这些概念，可以从光束通过光学系统的表观形象粗略地判断出透镜的安排方式是否适当。

为清晰了解本征高级球差与折射率，相对孔径，物距等因素的关系，以便引出更定量的概念，在下面分别作出一些数字例子。