数学专题测试二 题解

A. B

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莫比乌斯反演+杜教筛

题解：

看到这题面显然是莫比乌斯跑不了了

设$f[i]$代表$gcd$恰好为$i$的方案数

$g[i]$代表$gcd$为$i$的倍数的方案数

即

$$g[i]=\sum\limits_{i|d}f[d]$$

$$g[i]=C_{\lfloor \frac{n}{i} \rfloor +k-1}^{\lfloor \frac{n}{i} \rfloor -1}$$

莫比乌斯反演一下

$$f[i]=\sum\limits_{i|d}\mu{\frac{d}{i}}*g[d]$$

$\mu[i]$可以杜教筛求

组合数大的直接$O(k)$暴力，小的预处理即可

B. B君的回忆

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矩阵乘+$BSGS$找循环节

题解：

考场上想不到矩阵乘吃枣药丸，想推通项公式结果忘了$Fibonacci$怎么推的了

推了一上午现在终于推出来了

其实难点还是在于生成函数和裂项

设$x=\sqrt{5},g[k]=\frac{1}{x}*((\frac{2}{3-x})^k-(\frac{2}{3+x})^k)$

$k==1$可以直接矩阵乘

然而$g$数组的增长速度是非常快的,所以$k>1$的情况需要每一层对某个数取模

设在模$p$意义下的循环节为$h$,那么便有

$$T^h\equiv I(mod\ p)$$

设$V=\sqrt{p*2+1}$,$h=x*V-y$

那么便可以$BSGS$在$O(V)$的复杂度内求出$h$了

然而$k<=100$所以复杂度还是不够优秀

其实循环节函数$f(x)$有神奇的性质：

$1>(a,b)=1\ f(ab)=lcm(f(a),f(b))$

$2>f(p^k)=f(p)*p^{k-1}$

C. sanrd

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$MTT$

题解：

这道题的一些思路还是非常棒的：

$1>$$x^{2ij}=x^{(i+j)^2-i^2-j^2}$，可以有助于下一步的卷积

$2>$测试点分治的思想，有时候正解可能真的就是它

由于公式太多，所以直接上NC哥的链接

NC哥写的实在是太好啦，所以直接上NC哥的链接