给定一个三角形,找出自顶向下的最小路径和。每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。
例如,给定三角形:
输入
[
[2],
[3,4],
[6,5,7],
[4,1,8,3]
]
输出11 (2 + 3 + 5 + 1 = 11).
自顶向下的最小路径和为 11(即,2 + 3 + 5 + 1 = 11)。
说明:
如果你可以只使用 O(n) 的额外空间(n 为三角形的总行数)来解决这个问题,那么你的算法会很加分。
算法分析:
动态规划 时间O(n2) 空间O(1)
解法一:
1、点(i,j)的下一行的相邻数字是(i+1,j)和(i+1,j+1)。
2、f(i,j)表示从下往上走到位置(i,j)时的最小路径和,计算方式/状态转移方程是
3、f(i,j) = [i,j] + Min【f(i + 1,j) ,f(i + 1, j + 1)】
4、使用int[] cache = new int[n + 1]数组获取最后一行为起点,从下到上层层覆盖
复杂度分析:
直接把f(i,j)存在位置(i,j)处,不使用额外空间,因此空间复杂度为O(1)。
从倒数第二行自底向上计算出所有位置的最小值
package 动态规划;
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
/*[
[2],
[3,4],
[6,5,7],
[4,1,8,3]
]*/
public class 三角形最小路径和 {
/*为了避免重复递归,使用动态规划将结果记录在数组中
* f(i,j) = [i,j] + Min【f(i + 1,j) ,f(i + 1, j + 1)】
* 从倒数第二行自底向上计算出所有位置的最小值
* */
public int minimumTotal(List> triangle) {
int n = triangle.size();
//获取最后一行数据为起点
int[] cache = new int[n + 1];
//从倒数第二行开始,遍历改行的所有元素
for(int i = n - 1;i >= 0;i--)
{
for(int j = 0;j <= i;j++)
{
int value = triangle.get(i).get(j) + Math.min(cache[j], cache[j+1]);
cache[j] = value;
}
}
return cache[0];
}
}
解法二:
package 动态规划;
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
/*[
[2],
[3,4],
[6,5,7],
[4,1,8,3]
]*/
public class 三角形最小路径和2 {
/*为了避免重复递归,使用动态规划将结果记录在数组中
* f(i,j) = [i,j] + Min【f(i - 1,j - 1) ,f(i - 1, j)】
* 从倒数第二行自底向上计算出所有位置的最小值
* */
public int minimumTotal(List> triangle) {
int n = triangle.size();
//使用滚动数组记录每一层的最大集合
int[] cache = new int[n];
int[] caches = new int[n];
cache[0] = triangle.get(0).get(0);
//自顶向下遍历
for(int i = 1;i < n;i++)
{
for(int j = 0;j <= i;j++)
caches[j] = cache[j];
for(int j = 0;j <= i;j++)
{
//若该路径来自左边
int leftMin = Integer.MAX_VALUE;
if(j > 0) leftMin = caches[j - 1];
//若该路径来自右边
int rightMin = Integer.MAX_VALUE;
if(j < i) rightMin = caches[j];
cache[j] = triangle.get(i).get(j) + Math.min(leftMin, rightMin);
}
}
int ans = Integer.MAX_VALUE;
for(int i = 0;i < n;i++)
ans = Math.min(ans, cache[i]);
return ans;
}
}