dilworth定理的通俗讲解

度娘定义：在数学理论中的序理论与组合数学中，Dilworth定理根据序列划分的最小数量的链描述了任何有限偏序集的宽度。其名称取自数学家Robert P. Dilworth。

 

反链是一种偏序集，其任意两个元素不可比；而链则是一种任意两个元素可比的偏序集。Dilworth定理说明，存在一个反链A与一个将序列划分为链族P的划分，使得划分中链的数量等于集合A的基数。当存在这种情况时，对任何至多能包含来自P中每一个成员一个元素的反链，A一定是此序列中的最大反链。同样地，对于任何最少包含A中的每一个元素的一个链的划分，P也一定是序列可以划分出的最小链族。偏序集的宽度被定义为A与P的共同大小。

另一种Dilworth定理的等价表述是：在有穷偏序集中，任何反链最大元素数目等于任何将集合到链的划分中链的最小数目。一个关于无限偏序集的理论指出，在此种情况下，一个偏序集具有有限的宽度w，当且仅当它可以划分为最少w条链。

 

归纳性证明

令P为一有限偏序集，理论认为P为空集时显然成立。假设P最少有一个元素，令a为P中的极大值。

根据归纳法，假设存在一整数k，使得偏序集

可以被k个不相交的链

覆盖，且最少存在一个大小为k的反链

。显然，

，

。令

为

的极大值，

，

为

中大小为k的反链，令

，

为包含

的大小为k的反链。确定任意不等的索引

，那么

。令

，根据

的定义，

。因此，由

推断出

。通过交换

，可以得到

。由此得证，A为反链。

现在来讨论P。首先假设，

，

。令K为链

。那么，通过选择

，使得

不包含大小为k的反链。由于

是

中大小为k-1的反链，归纳推出

可以被k-1个不相交的链覆盖。因此，正如所需要证明的，P可以被k个不相交的链覆盖。其次，如果

，

，那么由于a是P的极大值，

为P中大小为k+1的反链。现在，P可以被k+1个链

覆盖。到此，定理全部证明结束。

  下面 正文开始（如果你上面的内容看懂了，请给我讲一讲，毕竟我也只是一直来自春田花花幼儿园的蒟蒻）

对于dilworth定理，我的理解就是：

在一个序列中 最长下降子序列的个数就等于其最长不下降子序列的长度

举例：1 2 3 2 3

　　最长下降子序列：3 2-->长度为2

　　最长上升子序列：1 2 3-->长度为3

反之也一样。

那么，你明白了吗？

反正我是明白了