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凸优化，对偶问题与拉格朗日函数

优化问题的基本形式

凸优化，对偶问题与拉格朗日函数_第1张图片

 

 

 

 

 

 

最大值问题可转化为最小值问题 

 

优化问题的域

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可行域：所有可行点的集合

最优化值：

最优化解：

 

凸优化问题的基本形式

凸优化，对偶问题与拉格朗日函数_第3张图片

其中，约束函数f(x)是凸函数，h(x)为仿射函数

 仿射函数：即最高次数为1的多项式函数。常数项为零的仿射函数称为线性函数。

 凸优化问题的重要性质：

　　1.凸优化问题的可行域为凸集

　　2.凸优化问题的局部最优解即为全局最优解

 

对偶问题

 一般优化问题的拉格朗日乘子法

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拉格朗日函数

　　　　

对固定的x，拉格朗日函数是关于和的仿射函数，当x为定值时，f(x)为定值，h(x)为定值，函数关于 线性，关于线性，即为若干条直线。

拉格朗日对偶函数

　　　　

若问题没有明确的下确界，则g(lamta,V) 为负无穷

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根据定义，显然有：对于任意的lamda，任意的x，若优化问题有最优值p，则g(lamta,V) <=p

进一步，拉格朗日对偶函数为凹函数

 

分析

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公式纯手打QAQ！

对偶

凸优化，对偶问题与拉格朗日函数_第7张图片

 

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强对偶条件

若要对偶函数的最大值等于原问题的最小值，则需满足：

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KKT条件

凸优化，对偶问题与拉格朗日函数_第10张图片

 

 实践案例

可以参见SVM的求解过程！

 

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  • Spring 3.2.14，4.1.7，4.2.RC2发布 wiselyman Spring 3
      Spring 3.2.14、4.1.7及4.2.RC2于6月30日发布。   其中Spring 3.2.1是一个维护版本(维护周期到2016-12-31截止)，后续会继续根据需求和bug发布维护版本。此时，Spring官方强烈建议升级Spring框架至4.1.7 或者将要发布的4.2 。   其中Spring 4.1.7主要包含这些更新内容。
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