BZOJ 2306: [Ctsc2011]幸福路径

Description

有向图 G有n个顶点 1, 2, …, n，点i 的权值为 w(i)。现在有一只蚂蚁，从
给定的起点 v0出发，沿着图 G 的边爬行。开始时，它的体力为 1。每爬过一条
边，它的体力都会下降为原来的 ρ 倍，其中ρ 是一个给定的小于1的正常数。而
蚂蚁爬到某个顶点时的幸福度，是它当时的体力与该点权值的乘积。
我们把蚂蚁在爬行路径上幸福度的总和记为 H。很显然，对于不同的爬行路
径，H 的值也可能不同。小 Z 对 H 值的最大可能值很感兴趣，你能帮助他计算
吗？注意，蚂蚁爬行的路径长度可能是无穷的。

Input
每一行中两个数之间用一个空格隔开。
输入文件第一行包含两个正整数 n, m，分别表示 G 中顶点的个数和边的条
数。
第二行包含 n个非负实数，依次表示 n个顶点权值 w(1), w(2), …, w(n)。
第三行包含一个正整数 v0，表示给定的起点。
第四行包含一个实数 ρ，表示给定的小于 1的正常数。
接下来 m行，每行两个正整数 x, y，表示是G的一条有向边。可能有
自环，但不会有重边。

Output
仅包含一个实数，即 H值的最大可能值，四舍五入到小数点后一位。

Sample Input
5 5
10.0 8.0 8.0 8.0 15.0
1
0.5
1 2
2 3
3 4
4 2
4 5

Sample Output
18.0

题解
当走无限步时 ， 答案会很快到达一个临界值 ， 这个值趋于不变 ， 因为这个时候的p已经很小了，对答案的贡献很小 ， 所以可以设定一个极大的步数 ， 求出走完这么多步之后的答案 ，
考虑倍增floyd ， 设\(f[t][i][j]\) 表示从i出发走了 \(2^t\) 到达j 的贡献，转移方程是
\(f[t][i][j] = max(f[t][i][j] , f[t-1][i][k] + f[t-1][k][j] * p ^ {2 ^ {t-1}}\)
倍增一下就好。

#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int N = 110;
inline int read()
{
    register int x = 0 , f = 0; register char c = getchar();
    while(c < '0' || c > '9') f |= c == '-' , c = getchar();
    while(c >= '0' && c <= '9') x = (x << 3) + (x << 1) + c - '0' , c = getchar();
    return f ? -x : x;
}
int n , m , S , cnt;
double p;
int head[N];
double a[N] , f[N][N] , g[N][N] , t[N][N];
struct edge{ int v , nex; } e[N*10];
inline void add(int u , int v) { e[++cnt].v = v; e[cnt].nex = head[u]; head[u] = cnt; return ; }
 
void mul(int K)
{
    for(int i = 1 ; i <= n ; ++i) for(int j = 1 ; j <= n ; ++j) g[i][j] = t[i][j] = f[i][j] , f[i][j] = -1e8;
    for(int k = 1 ; k <= n ; ++k)  // 我之前居然傻到没有枚举 k……
        for(int i = 1 ; i <= n ; ++i) 
            for(int j = 1 ; j <= n ; ++j) 
                f[i][j] = max(f[i][j] , g[i][k] + t[k][j] * p);
    return ;
}
 
double ksm(int k)
{
    for(int i = 1 ; i <= k ; ++i) mul(i) , p = p * p;
    double ans = 0;
    for(int i = 1 ; i <= n ; ++i) ans = max(ans , f[S][i]);
    return ans + a[S];
}
 
int main()
{
    n = read(); m = read();
    for(int i = 1 ; i <= n ; ++i) scanf("%lf" , &a[i]);
    S = read(); scanf("%lf" , &p);
    for(int i = 1 ; i <= n ; ++i) for(int j = 1 ; j <= n ; ++j) f[i][j] = (i == j ? 0 : -1e8);  // 没有的要赋成-inf ， 要不然就会用本来没有的边 ， 更新答案。
    for(int i = 1 , u , v; i <= m ; ++i) u = read() , v = read() , add(u , v) , f[u][v] = a[v] * p;
    printf("%.1f\n" , ksm(30));
    return 0;
}