线性代数的本质
一、向量究竟是什么？
二、线性组合、张成的空间与基
上一节聊过，矩阵不过是一种向量，我们的向量可以由基向量 i、j 转换而来，那么 ，我可以通过向量就能描述一个所有的二维空间，这样对于计算来说，太繁琐了 。
我们简化一下，用向量的终点表示向量，即一个点，这些点在坐标系上形成了无数矩阵化的点。
三、矩阵与线性变换
如果一种变换满足以下两种条件：1、直线在变换后还是直线，不能弯曲；2、原点保持不变 ，那么就称为 线性变换
上图的意义是什么？上图中 ac 和 bd 可以当成是线性变换后的 i、j基向量，我们不用管之前的xy基向量是啥，只知道之前的基向量下的某个向量值为 xy (没法按矩阵竖着写出来，用横着写默认表示竖着写的矩阵) ，之前的基向量线性变换后成了新的基向量 ac 和 bd，那么原来的xy线性变换后的新的x y是什么？就是上图的表达式：二者的乘积。
矩阵的乘法的意义就是表示了空间向量的线性变换，要求相乘 的两个矩阵左边的列和右边的行相同的。
四、矩阵乘法与线性变换复合
上节我们提到一个 2*2 的矩阵乘以 1*2 矩阵，那么 对于 2*2的两个矩阵相乘，它的意义是什么？
我们设想，对于一个1*2矩阵，我们不管它的初始i、j，我们记住它变换了一次[abcd]，再变换一次[efgh]，那么这个矩阵会变成什么样子？
矩阵 AB ≠ BA
附录：三维空间的线性变换
三维空间的线性变换和第四节提到的一样，就是二维的维度多一次复合变换，可以拆解，从又往左看。
（记住，不管红绿矩阵，它的里面参数都是有个原始矩阵，这个原始矩阵就是我们默认的是标准的三维空间坐标X、Y、Z它们对应的标准ijk帽。只不过在矩阵计算中，它左右约掉了，所以不用管，这里提到是为了便于理解这个矩阵乘法的意义，不然太抽象了）
五、行列式
什么是行列式？ 百度的定位看起来很复杂，便于理解，我们可以先在一个二维空间画一块blob，这个区域实际上可以理解成矩阵，由很多小块矩阵各自拼接出来的。那么，现在我们进行线性变换，这个blob面积就会发生变化，行列式就是表示这个面积的缩放比例。在三维空间，即三阶矩阵中，行列式表示体积缩放的比例。
上面这段怎么理解？实际上就是两个i j 向量各自组成的面积块中，通过几何一算即得出 ad-bc 这样的公式。det就是对i j 的拉伸。
六、逆矩阵、列空间与零空间
即使不存在逆运算（逆矩阵），也可能有解，比如说一个变换将空间压缩成直线，
秩：秩 精准定义是矩阵的列张成的空间 维度数。当秩与列数相同时候，我们成为满秩。注意定义里的张成二字，非满秩的情况下，比如虽然矩阵是2个列，但这个2个列正好在几何上处于一条直线，张成的是一条线，那实际上是一维，秩是1，就没满 。
当逆变换存在时，你能用逆变换求解方程组；否则，列空间的概念让我们理解什么时候存在解；零空间的概念有助于我们理解所有可能的解的集合是什么样子。
附录：非方阵
前面几章提到的矩阵，要么是二维到二维的变换，要么是三维到三维的变换，那么可否一个二维向量变成三维向量？
七、点积与对偶性
点积百度百科-感觉解释的一般般
点积可以干什么？两个向量的点积为正，表示朝向类似，为零，表示朝向垂直，为负，表示朝向相反。点积具有对偶性，v.w和w.v的结果是相同的，最终结果为实数。
前面，我们学了矩阵的乘法，那矩阵的点积和乘法到底啥区别？矩阵的乘法表示线性变换；而矩阵点积则是表示2个特殊向量的投影
八、叉积的标准介绍
九、基变换
如何在不同的坐标系之间切换？这里涉及到仿射变换。
矩阵乘法就是一个特殊的线性变换。比如，你当前坐标下有向量V ，为求空间扭转（也就是线性变换后）后的V的值，只需要知道空间扭转后的坐标系ij等，然后[ ]V 两者相乘即可得出V 变换 后新的坐标。
在你看到一个公式，是这样的格式：A逆 乘以 M 乘以 A，这按时熟悉上的转移作用。
十、特征向量与特征值
什么是特征向量？一个坐标系下的某向量，在该坐标系扭转后仍然方位不变，则称为该向量为特征向量。 用三维空间比较好了解，一块正方形，任意一条向量穿过正方形圆心，绕着该向量旋转放大，而该向量不动，则该向量为特征向量，或者说该向量是旋转轴。而这条向量放大缩小了多少，这个就是特征值。
有些矩阵没有特征向量，比如[1,0 0,1]，它旋转90度后，所有向量都旋转了，没有向量保持不变，这种就没有特征向量。
十一、线性代数的本质：抽象向量空间
矩阵可以理解为 函数。
