微积分的本质

01、微积分的本质 - 前言

微积分到底是干嘛？ 举个例子，我们知道圆周是 l = 2πr，那么，怎么证明圆的面积就是 S = πr^2 ?
我们用 dr（differentials r）导数定义 表示 微小的分割后的 r，一个圆可以切割成无数同心环，每个同心环的面积可以展开当成矩形。

一个r=3的圆，拆成矩形拼在一起，可以看成求圆面积即求该三角形的面积

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02、微积分的本质 - 导数的悖论

导数是高维到低维的转化

致敬

如图，表示一个汽车加速行驶再停下来的过程，一个是行驶距离与时间的图像，一个是速度与时间的图像，速度的大小表示距离变换的快慢，即s(t)求导后的结果就是v(t)

本集，讨论导数的概率，有种说法，导数是瞬时的变化率，这种说法是自相矛盾的，应该换为：最佳的接近瞬时变化的变化值（为了规避在0点时候，一个悖论）

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3、微积分的本质 - 用几何来求导

通过几何来推导x^2的导数是2x

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4、微积分的本质 - 直观理解链式法则和乘积法则

求导的复合乘法函数的乘法法则，如图f(x)= sin(x)x^2，这样的复合函数求导可以通过几何面积乘法来推导，进而得出该图的理论，乘法复合函数的求导是什么样的

对于嵌套的复合函数的求导过程推导过程，链式法则，原函数sin(x^2)，对它求导就是如图过程

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5、微积分的本质 - 指数函数的求导

推导的第一步

推导的第二步，右边括号分式里的值等于什么？这是非常关键的点

e的导数还是e

对于指数函数，我们可以借助e这个神奇数字

在实际中，我们是见不到这样的a^t的写法，都是等价于e^ct写法，c = ln(a),ln(2)=0.6931

指数这个性质，我们才能选择 1 ，利用e来方便求导

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6、微积分的本质 - 隐函数求导怎么回事？

x,y同时由一个等式定义并互相联系在一起的，这种曲线就是所谓的隐函数曲线，比如x^2 + y^2 = 1，即满足所有x,y的性质 和 所有的 (x,y) 的集合。

对于这样的隐函数，求导过程实际是上两边同时求导，再简单运算一下即可得出

又比如，一个5米长的木板，靠墙端以1米速度匀速下落，即函数y(t)，满足 dy/dt = 1，那么墙角端的木板在t时间的速度是多少？怎么求？方法多种，这里用求导的方式去求，即对等式两边同时求导。先设木板脚端方程x(t)，求y(t)=4时候，x(t)的速度是多少？我们根据图中右下角公式，可以得出，y(t)=4,x(t)=3，勾股定理，套用右下角公式，2*3* dx/dt + 2*4*dy/dt = 0，已知dy/dt =1 ,那么dx/dt值为4/3，这个dx/dt就是该瞬间的木板下脚速度

隐函数求导案例，对于 ln ,我们能把它变成 e^ 的方式

就这么可以求出最后结果1/x，也就是 ln(x)的导数是 1/x。本节说了这么多是为了带我们初步了解一下 多元微积分

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7、微积分的本质 - 极限

图8，对于这种极限，就要避免0\0的形式出现，那么怎么求0\0这样的形式呢？

图9。对于上面一张图8，我们分别画出3条线，3个函数的曲线，分子、分母的函数都在x=1时为0

接合上图8图9，如何求sin(πx)/(x^2-1)这样的函数在 x=1时候的极限呢？
我们可以这样，各自求分母分子极限。分子求导可得cos(πx)*π*dx，分母求导可得2x*dx，接着，我们把x=1代入式子中，并相除，约掉了dx，得出-π/2，也就是图8这个奇怪的函数在x=1时候，极限是-π/2。

如上，当你需要计算一些0/0型的极限时，你可以分别对分母分子进行求导，然后代入那个值，这种神奇的技巧就叫 洛必达法则 。

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8、微积分的本质 - 积分与微积分基本定理

牛顿-莱布尼兹公式。求一个函数f(x)的积分，即求这个函数f(x)的原函数，通过原函数F(x)来计算积分，也就是f(x)在图像中形成的面积。若f(x)是一个汽车的速度函数，那么F(x)就是距离函数

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9、微积分的本质 - 面积和斜率有什么联系？(无限个数量怎么求平均值？)

为求f(x)在点(a,b)区段的平均值，即求f(x)围城的面积/b-a，那么就等于反导原函数F(x)中的 F(b)-F(a) / b-a，这个式子仔细看就是原函数F(x)在(a,b)间的斜率。

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9.1、微积分的本质 - 高阶导数

二阶导数表示斜率的变化，二阶导数值越大，表面斜率变换越快。

如图，以汽车加速开车并停下来的过程，以距离和时间为变量，得函数s(t),一阶求导反映的是速度变化，二阶导反映的是加速度的变化，三阶导反映的是急动度的变化

高阶导数最大的作用就是帮助我们得到函数的近似。

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10、微积分的本质 - 泰勒级数

如图，为了模拟函数f(x)=cos(x),我们分别比较f(x)、f'(x)、f''(x)的值，并与之对应指数函数，选指数函数是因为它的求导简单方便

泰勒级数，即通过模拟a点附近的近似趋势，进而模拟出a点附近的函数

泰勒级数并不意味着多项式数据越多就越接近原函数，实际上泰勒函数有收敛域，超过收敛域，多项式再怎么多，也不会接近原函数，如ln(x)等。

泰勒级数是利用某个函数单个点的导数来近似这个点附近的函数值。