球的切、接问题～日更175

    几何体的外接球问题，一是补形，即补成长方体或立方体，二是找球心，找球心的方法是找几何体某两个面外接圆的圆心，从圆心作垂线，两垂线的交点即为球心，通过构造直角三角形来解决。

      内切问题更多的是通过切割法来解决，通过体积自等来求内切球半径。

      球的切、接问题也可以通过构造以下模型来完成。

      模型1.“心在线”模型

      “心在线”模型适用圆锥、侧棱相等的棱锥等几何体，可得球心必在圆锥或棱锥一个底面的高所在直线上，由此可把相关信息转移到直角三角形内，利用勾股定理求解.

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      模型2.“汉堡”模型

      对于直棱柱，应用数学建模的素养，结合球与直棱柱的有关性质，建立“汉堡”模型，上下底面外接圆的圆心连线的中点即为球心，球心到各个顶点的距离都等于球的半径。

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      模型3.“墙角”模型

      具有三条棱两两垂直或三个平面两两垂直的特征，应用数学建模素养，构建“两两垂直垂直”模型，亦即“墙角”模型，如图所示，将三棱锥补形为长方体，将棱锥的外接球转化为长方体的外接球，球心即为体对角线的中点。

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      模型4.“面面垂直”模型

      有两个表面具有面面垂直的特征，属于“面面垂直”模型，此类问题的解决关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的几何关系和数量关系，选准最佳角度作出截面，使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系，达到空间问题平面化的目的。

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        模型5.巧用坐标法

      用坐标法求解，要善于借助于长方体.也是把几何问题代数化的转化思想。将几何体纳入长方体后，各个顶点的坐标容易求出，设出球心坐标，利用球心到球面上各顶点的距离都等于半径，求解球心坐标，进而求解问题.

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      模型6.化“球”为“圆”法

      由于“球”是“圆”在空间概念上的延伸，所以研究球的性质时，应注意与圆的性质类比．球的轴截面是大圆，它几乎含有球的全部元素，所以有关球的计算，往可以作出球的一个大圆，化“球”为“圆”来解决问题，把空间问题转化为平面问题。

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