在 数学吧 里 有 一个 帖 《万能的吧友，救救这名卑微的初三狗吧》 http://tieba.baidu.com/p/6455416605 ， 里面 提问 了一个 题 ， 如下 ：
我们 来 做做 这道题，
（1） 函数图像 与 x 轴 相交于 A (-1, 0) 、 B (3, 0) 两点， 可以列 方程组 ：
0 = ( -1 ) ² + b * -1 + c
0 = 3 ² + b * 3 + c
1 - b = 9 + 3 b
4 b = - 8
b = -2
c = -9 - 3 * -2 = -9 + 6 = -3
所以， 函数表达式 是 y = x ² - 2x - 3 。
（2） 过 E 点 作 高 与 AD 相交于 H 点， 即 EH 是 过 E 点 的 高，
因为 EH 和 抛物线 右侧 相交于 点 E， 所以， ye = xe ² - 2xe - 3 ， xe ye 是 E 点 的 x y 坐标 ， xe > 1 。
根据 S△ADE = 2 S△AOC ， 可以 列方程 ： 1/2 * AD * EH = 2 * 1/2 * Xa * Yc ， Xa 是 A 点 x 坐标， Yc 是 C 点 y 坐标 ，
1/2 * AD * EH = Xa * Yc
EH = 2 * Xa * Yc / AD （1） 式
Xa = -1， 另外， 可以知道 Xd = 1 ， Xd 是 D 点 x 坐标， Yd = Xd ² - 2Xd - 3 = 1 ² - 2 * 1 - 3 = -4 ， Yd 是 D 点 y 坐标 。
根据 勾股定理 ， AD = ( Yd ² + ( Xd - Xa ) ² ) 开方 = ( 4 ² + 2 ² ) 开方 = 根号 ( 20 ) 。
又因为 Yc = Xc ² - 2Xc - 3 = 0 ² - 2 * 0 - 3 = -3， Xc Yc 是 C 点 的 x y 坐标 。
代入 （1） 式 ， EH = 2 * Xa * Yc / AD = 2 * -1 * -3 / 根号 ( 20 ) = 6 / 根号 ( 20 ) 。
图中 蓝色 的 字 和 辅助线 是 我 加 的 。 如图， 可以知道， 三角形 ADG 和 EFH 相似， ∠ ADG = ∠ FEH ，
cos ∠ FEH = cos ∠ ADG = DG / AD = 4 / 根号 ( 20 ) ，
EH / EF = cos ∠ FEH = 4 / 根号 ( 20 )
EF = EH * 根号 ( 20 ) / 4 = 6 / 根号 ( 20 ) * 根号 ( 20 ) / 4 = 6 / 4 = 3 / 2
另外， 可以知道 AD 直线 的 函数式 是 y = -2x - 2 ，
因为 EF 平行于 x 轴， 和 AD 交于 F， 和 抛物线 交于 E， 可以 列方程组 ：
-2x1 - 2 = x2 ² - 2x2 - 3 ， x1 表示 直线 AD y = -2x - 2 的 x， x2 表示 抛物线 的 y = x ² - 2x - 3 的 x，
x2 - x1 = EF = 3/2
解方程组 ：
x1 = x2 - 3/2
-2 ( x2 - 3/2 ) - 2 = x2 ² - 2x2 - 3
-2 x2 + 3 - 2 = x2 ² - 2x2 - 3
x2 ² = 4
x2 = 2
x2 就是 E 点 的 x 坐标， 代入 抛物线 函数式 y = x ² - 2x - 3 ，
y = 2 ² - 2 * 2 - 3 = -3
y 就是 E 点 的 y 坐标， 所以 E 点 的 坐标 是 x = 2, y = -3 。
（3） 先求 DC 直线 函数式， 设 函数式 为 y = ax + b ， 根据 C 点 D 点 坐标 来 求 函数式 。
可以知道， C 点 y 坐标 y = x ² - 2x - 3 = 0 ² - 2 * 0 -3 = -3 ， D 点 x 坐标 为 1， y = x ² - 2x - 3 = 1 ² - 2 * 1 - 3 = -4 ，
所以， C 点 坐标 是 ( 0, -3 )， D 点 坐标 是 ( 1, -4 ) ，
-3 = a * 0 + b
-4 = a * 1 + b
a = -1
a = -1 表示 三角形 FCO 是 等腰直角三角形， ∠ OFC = 45 度 ， 因为 ∠ RPQ = 45 度， 所以 ∠ OFC = ∠ RPQ ，
所以， 要 使 三角形 PQR 和 PFR 相似， 只要 让 RQ 直线 平行于 x 轴 就可以了， 此时， ∠ FPR = ∠ PRQ ， 所以 三角形 PQR 和 PFR 相似 。
所以， 只要 求 RQ 直线 和 x 轴 平行 时 P 的 坐标 就可以了 。
用 蓝色 的 线条 和 字 标识 出 实际 满足条件 的 P R Q ， 并 用 橙色 线条 作 延长线 QH PH 正交于 H 。
根据 B 点 坐标 ( 3 0 ) 和 D 点坐标 ( 1, -4 ) 可以 知道 BD 直线 的 斜率 = 4/2 = 2 。
所以 tan ∠ QPH = 1/2 ， 因为 ∠ RPQ = 45 度， 所以， ∠ RPH = ∠ QPH + ∠ RPQ = arctan 1/2 + 45 度 。
RH / PH = tan ∠ RPH = tan ( arctan 1/2 + 45 度 )
RH = PH * tan ( arctan 1/2 + 45 度 )
RG + GQ + QH = PH * tan ( arctan 1/2 + 45 度 )
因为 等腰直角三角形， 所以 RG = GQ ，
2 RG + QH = PH * tan ( arctan 1/2 + 45 度 )
因为 QH / PH = tan ∠ QPH = 1/2 ， 所以 QH = 1/2 PH ，
2 RG + 1/2 PH = PH * tan ( arctan 1/2 + 45 度 ) (1) 式
因为 CG = OC - PH， 因为 等腰直角三角形 ， RG = CG = OC - PH， 因为 等腰直角三角形 ， OC = OB ， 因为 B 的 坐标 是 ( 3 , 0 ) ， 所以 OC = OB = 3 ，
所以 RG = OC - PH = 3 - PH ， 代入 (1) 式
2 ( 3 - PH ) + 1/2 PH = PH * tan ( arctan 1/2 + 45 度 )
6 - 2 PH + 1/2 PH = PH * tan ( arctan 1/2 + 45 度 )
PH * tan ( arctan 1/2 + 45 度 ) + 3/2 PH = 6
PH ( tan ( arctan 1/2 + 45 度 ) + 3/2 ) = 6
PH = 6 / ( tan ( arctan 1/2 + 45 度 ) + 3/2 )
RH = PH * tan ( arctan 1/2 + 45 度 ) = 6 / ( tan ( arctan 1/2 + 45 度 ) + 3/2 ) * tan ( arctan 1/2 + 45 度 )
QH = 1/2 PH = 1/2 * 6 / ( tan ( arctan 1/2 + 45 度 ) + 3/2 ) = 3 / ( tan ( arctan 1/2 + 45 度 ) + 3/2 )
2 RG+ QH = RH
2 RG + 3 / ( tan ( arctan 1/2 + 45 度 ) + 3/2 ) = 6 / ( tan ( arctan 1/2 + 45 度 ) + 3/2 ) * tan ( arctan 1/2 + 45 度 )
RG = [ 6 / ( tan ( arctan 1/2 + 45 度 ) + 3/2 ) * tan ( arctan 1/2 + 45 度 ) - 3 / ( tan ( arctan 1/2 + 45 度 ) + 3/2 ) ] / 2
= 3 / ( tan ( arctan 1/2 + 45 度 ) + 3/2 ) * tan ( arctan 1/2 + 45 度 ) - 3/2 * 1 / ( tan ( arctan 1/2 + 45 度 ) + 3/2 )
GH = GQ + QH ， 因为 GQ = RG， 所以
GH = RG + QH
= 3 / ( tan ( arctan 1/2 + 45 度 ) + 3/2 ) * tan ( arctan 1/2 + 45 度 ) - 3/2 * 1 / ( tan ( arctan 1/2 + 45 度 ) + 3/2 ) + 3 / ( tan ( arctan 1/2 + 45 度 ) + 3/2 )
P 点 的 x 坐标 就是 GH， 即 P 点 的 x 坐标 是 3 / ( tan ( arctan 1/2 + 45 度 ) + 3/2 ) * tan ( arctan 1/2 + 45 度 ) - 3/2 * 1 / ( tan ( arctan 1/2 + 45 度 ) + 3/2 ) + 3 / ( tan ( arctan 1/2 + 45 度 ) + 3/2 ) 。
这道题 要 做完 全部 3 小题 ， 就算 不假思索 的 做， 也要 做 半个小时， 一场 考试 2 个小时 ， 做 4 题 就 差不多 了 ， 呵呵 。
所以， 高分 是 训练 出来 的， 这就像 竞技比赛 里 专业选手 和 业余选手 的 差别， 比如 星际争霸， 职业选手 和 业余选手 的 差距 是 巨大 的 。