·栈、单调栈
1.栈的特点与基本操作
2.单调栈
单调栈是一种特殊的栈，其栈内的元素都保持一个单调性（单调递增或者递减）。
·单调递增栈,从栈底到栈顶依次递增（单调非递减栈:允许有相等）
·单调递减栈,从栈底到栈顶依次递减（单调非递增栈:允许有相等）
qes1.给一个序列，求对于每个数左边第一个比它大的数
做法：维护一个单调栈
①如果当前栈顶的元素比自己小，则将栈顶元素不断弹出，直到遇到第一个比自己大的元素，即为左边第一个比自己大的数
②如果一直弹出直到栈空了，则无法找到左边比自己大的元素
③将自己加入栈顶
更具体做法可参见：https://blog.csdn.net/Floraqiu/article/details/81947461
·笛卡尔树
qes1.求每段区间最小值的和
做法：笛卡尔树
一些性质：
①堆的性质，小根堆，两子的值大于等于父亲的值
②二叉搜索树性质，即左子树的点key(默认为下标)比根小，右子树的点key(默认为下标)比根大显然（增量法构造），按中序遍历这棵树，可得原序列
③询问下标i到下标j之间(i ④修改只会在最右边的一条链上修改，左子树不会再修改。并且右边的链相当于一个栈，出栈的元素进入左子树 以某元素为最小值的区间长度为：（sizeL+1）*（sizeR+1） 参考链接：https://blog.csdn.net/Code92007/article/details/94591571 ·队列、单调队列 qes1.求所有区间长度为k的区间的最大值 做法：单调队列（与单调栈类似） ①插入：若新元素从队尾插入后会破坏单调性，则删除队尾元素，直到插入后不再破坏单调性为止，再将其插入单调队列。 ②获取最优（最大、最小）值：访问首尾元素 ③队首元素超过其存活期则应该弹出 ·STL 1.Vecotor，stack，queue 2.set，map，priority_queue ①set支持insert()，erase()操作 ②upper_bound(),lower_bound()不可直接使用，要加上s.lower_bound() ③map 3.multiset ①支持可重复元素 ②erase()操作删除所有相同的元素 ③ 对于序列[1，1，2，3，4，4，5] ：lower_bound()找到第一个4，upper_bound()找到第二个4 ④对于③中的序列要想只删除多个4中的一个：s.earse(lower_bound(4)) 4.unordered_map,unordered_set ①无法使用upper_bound()与lower_bound() ②可在o(1)复杂度内询问元素是否在集合内（本质为哈希表） qes1.维护一个几个集合，支持插入一个数，删除一个数，求所有数从小到大排序之后的异或和 做法：先将所有元素排序，之后将两两相邻的元素的异或关系加入集合中 删除：将被与删除元素与其相连的两个元素之间的关系删除，再加入与其相连的两个元素新形成的关系 插入：用lower_bound()找到元素对应位置，删除原先的关系，加入新的关系 ·树上倍增 qes1.求一个点往上第K个祖先 做法：树上倍增 定义数组fa[i][j]表示i节点的第2^j个父亲是谁。 然后，我们会发现有这么一个性质： fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1] 用文字叙述为：i的第2^j个父亲 是i的第2^(j-1)个父亲的第2^(j-1)个父亲 例.假设求u的第11个父亲： ①将11转化为二进制1011 ②u->f(u,3)->f(u,1)->f(u,0) qes2.求LCA ①如果两点高度(即深度)相同 for k = log(n) to 0 if f(u,k)=f(v,k) continue else u=f(u,k) v=f(v,k) ②如果两点高度不相同，先将低的点跳到与高的点深度相同 qes3.求两点之间路径的最大值 思路：倍增的同时记录下g(u,j)=max(g(u,j-1),g((f(u,j-1),j-1)) qes4.有若干个操作，每次将一条路径上的边全部加上一个值，操作完之后求每条边的权值 与qes3类似，所有可以合并的信息都能用点三的信息求出 ·ST表 1.RMQ 一个高效的用于查询区间最大/最小值的方法，其需要O(nlogn))的时间复杂度进行预处理，之后对于每次的区间查询的复杂度为O(1)。 预处理 设mn[i][j]表示从第i位开始连续2^j个数中的最小值。例如mn[2][1]为第2位数开始连续2个的数的最小值，即3, 6之间的最小值，即mn[2][1] = 3; 之后我们很容想到递推方程： mn[i][j] = min(mn[i][j - 1], mn[i + (1 << j - 1)][j - 1]) 查询 假设我们需要查询区间[l, r]中的最小值，令k = log2(r - l + 1); 则区间[l, r]的最小值RMQ[l,r] = min(mn[l][k], mn[r - (1 << k) + 1][k]); 2.RMQ求LCA ①概念 ②在欧拉序上进行RMQ： ①先将所有集合内部排序 ②每次暴力合并把小集合的合并到大的里 看起来很暴力的一个做法，但是时间复杂度只有(nlogn) 伪代码： merge(a,b) size(a)>size(b) //交换两个集合a.swap(b) for x ：b a.insert(b) qes2.求出每个子树的众数 做法：DSU On Tree(树上启发式合并),dfs到某一个点，将其子树的所有点合并，求集合中的众数 子树问题：一个元素都是单独的一个集合 伪代码： dfs(u) Sa={Bu} for v:son[u] dfs(v) su=Sa U Sv ·Segement beats(吉如一线段树) 详细博客：https://oi-wiki.org/ds/seg-beats/#ctsn-loves-segment-tree qes1.给一个序列，支持区间取min，然后询问区间max，区间和（HDU5306 Gorgeous Sequence） 做法：维护区间最大值Max，次大致Se，区间和Sum以及最大值个数Cnt，现在考虑如何对区间取min ①如果Max≤t ，显然这个t是没有意义的，直接返回 ②如果 Se ＜ t ≤ Max 那么这个t就能更新当前区间中的最大值。于是我们让区间和加上 Cnt (t-Max)，然后更新 Max为t ，并打一个标记 ③如果t ≤ Se，那么这时你发现你不知道有多少个数涉及到更新的问题。于是我们的策略就是，暴力递归向下操作。然后上传信息 以上就是讲了并且听懂了的内容哈哈哈，下面放上没讲或者没听懂的问题，以后来补哈哈哈 ·线段树分治 qes1.动态图支持加边与删边操作，询问连通性，可以离线 ·DFS序 qes1.每个点有f个值，每个点的g值为子树的f值之和。支持修改f值，询问子树g值的和 qes2.给你一颗树，边权可能是负数，要求查询u这个点到v这个子树里的最远点 ·主席树 qes1.二位数点，强制在线 qes2.区间查询第K大 qes3.求树上两点之间的第K大 qes4.给你一序列a1，a2，...，an。给Q个询问，每次给出l，r，x求l，r之间与x异或之后最大的数 ·CDQ分治 qes1.三维数点 qes2.一个图，对于所有i，j，k求出从i到j不经过k的最短路长度
时间戳 - 该结点dfs首次遍历到的序号，用记录。
欧拉序 - dfs遍历节点，节点的编号形成的序列，用记录。（包括回溯）
表示与 对应的节点编号，也就是这 个节点的LCA。
LCA在 之间（闭区间）且是其中深度最小的节点，这是显然的：（设 ）
有两种情况， 是 的祖先，此时向下遍历一定会到达 ；
不是 的祖先，由于树上路径 的唯一性，在到达 后必然会退出 ，经过 ，到达 。