姓名：崔升 学号：14020120005
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【嵌牛导读】：
PageRank是Sergey Brin与Larry Page于1998年在WWW7会议上提出来的，用来解决链接分析中网页 排名的问题。
【嵌牛鼻子】：分析及解决网页排名问题的著名算法
【嵌牛提问】：PageRank是一种怎么的算法，其如何解决链接分析的网页排名问题呢？
【嵌牛正文】：
1. 引言
在衡量一个网页的排名，直觉告诉我们：
当一个网页被更多网页所链接时，其排名会越靠前；
排名高的网页应具有更大的表决权，即当一个网页被排名高的网页所链接时，其重要性也应对应提高。
对于这两个直觉，PageRank算法所建立的模型非常简单：一个网页的排名等于所有链接到该网页的网页的加权排名之和：
PRi=∑(j,i)∈EPRjOj(1)(1)PRi=∑(j,i)∈EPRjOj
PRiPRi表示第ii个网页的PageRank值，用以衡量每一个网页的排名；若排名越高，则其PageRank值越大。网页之间的链接关系可以表示成一个有向图G=(V,E)G=(V,E)，边(j,i)(j,i)代表了网页jj链接到了网页ii；OjOj为网页jj的出度，也可看作网页jj的外链数（ the number of out-links）。
假定P=(PR1,PR2,⋯,PRn)TP=(PR1,PR2,⋯,PRn)T为n维PageRank值向量，AA为有向图GG所对应的转移矩阵，
Aij={1Oi0if(i,j)∈EotherwiseAij={1Oiif(i,j)∈E0otherwise
nn个等式(1)(1)可改写为矩阵相乘：
P=ATP(2)(2)P=ATP
但是，为了获得某个网页的排名，而需要知道其他网页的排名，这不就等同于“是先有鸡还是先有蛋”的问题了么？幸运的是，PageRank采用power iteration方法破解了这个问题怪圈。欲知详情，请看下节分解。
2. 求解
为了对上述及以下求解过程有个直观的了解，我们先来看一个例子，网页链接关系图如下图所示：
那么，矩阵AA即为
所谓power iteration，是指先给定一个PP的初始值P0P0，然后通过多轮迭代求解:
Pk=ATPk−1Pk=ATPk−1
最后收敛于||Pk−Pk−1||<ξ||Pk−Pk−1||<ξ，即差别小于某个阈值。我们发现式子(2)(2)为一个特征方程（characteristic equation），并且解PP是当特征值（eigenvalue）为11时的特征向量（eigenvector）。为了满足(2)(2)是有解的，则矩阵AA应满足如下三个性质：
stochastic matrix，则行至少存在一个非零值，即必须存在一个外链接（没有外链接的网页被称为dangling pages）；
不可约（irreducible），即矩阵AA所对应的有向图GG必须是强连通的，对于任意两个节点u,v∈Vu,v∈V，存在一个从uu到vv的路径；
非周期性（aperiodic），即每个节点存在自回路。
显然，一般情况下矩阵AA这三个性质均不满足。为了满足性质stochastic matrix，可以把全为0的行替换为e/ne/n，其中ee为单位向量；同时为了满足性质不可约、非周期，需要做平滑处理：
P=((1−d)En+dAT)P=((1−d)En+dAT)
其中，dd为 damping factor，常置为0与1之间的一个常数；EE为单位阵。那么，式子(1)(1)被改写为
PRi=(1−d)+d∑(j,i)∈EPRjOjPRi=(1−d)+d∑(j,i)∈EPRjOj
3. 参考资料
[1] Bing Liu and Philip S. Yu, "The Top Ten Algorithms in Data Mining" Chapter 6.