证明：\(\lim_{x\rightarrow +\infty }\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}sinx^{n}dx=0\)
这题是老师在讲分块矩阵时提到的，说是同样用到了“分块”的思想，想来有趣，便记录了下来。
Solution:
\(0\leq \left | \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}sinx^{n}dx \right |\leq \left | \int_{0}^{1}sinx^{n}dx \right |+ \left | \int_{1}^{\frac{\pi }{2}}sinx^{n}dx \right |\)
\(\leq \int_{0}^{1}\left | sinx^{n} \right |dx + \left | \int_{1}^{\frac{\pi }{2}}\frac{nx^{n-1}}{nx^{n-1}}sinx^{n}dx \right |\)
\(\leq \int_{0}^{1}x^{n}dx + \left | \int_{1}^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{nx^{n-1}}sinx^{n}dx^{n} \right |\)
\(=\frac{1}{n+1}+ \left | \frac{1}{n}\int_{1}^{\varphi}sinx^{n}dx^{n} \right |\)
\(=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n} \left | cos\varphi -cos1 \right |\)
\(\leq \frac{1}{n+1}+\frac{2}{n}\)
\(\because\lim_{x\rightarrow +\infty } (\frac{1}{n+1}+\frac{2}{n})=0\)
故原极限为0. □
本题将函数分为两段进行处理，分而治之，属实巧妙。
其中涉及到了一个常用的定理——第二积分中值定理。
Th:设f(x)在[a,b]上可积， g(x)在[a,b]上单调，则:
\(\exists \xi \in [a,b],\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx=g(a)\int_{a}^{\xi}f(x)dx+g(b)\int_{\xi}^{b}f(x)dx\).