素数判定（含Miller-Rabin素数判断法）

https://blog.csdn.net/ltyqljhwcm/article/details/53045840

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计算小于n的所有素数：时间复杂度

#include
using namespace std;
#define N 1001
bool p[N]={0};
// 注意，如果是a[100]={0}是所有的值为0,而a[100]={1}则是只有第一个值为1；
// 为了初始化方便，false为素数，true为非素数
// 算法复杂度 O(nloglogn)
int pNum=0;
bool is_prime(int a){
   if(a==1){
     return false;
   }
   //long long sqr=(long long)sqrt(1.0*a);
   for(int i=2;i*i<=a;i++){
     if(a%i==0){
       return false;
     }
   }
   return true;
}
// 利用小于它的素数计算是否成立，用于求解小于n的所有素数
void find_prime(int max){
  int i=0,j=0;
  p[0]=p[1]=true;
  for(i=2;i<=max;i++){
    if(p[i]==false){
      if(is_prime(i)){
          // 对所有与该素数成整数倍关系的标记为true（非素）
          for(j=i+i;j<=max;j+=j){
              p[j]=true;
          }
      }
      else{
        p[i]=true;
      }
    }
  }
}
int main(){
  int a=13,i;
  find_prime(a);
  for(i=0;i

利用空间换时间的基于素数表的素数计算：

#include
using namespace std;
#define N 1001
bool p[N]={false};

// 10^5以内可以接受。算法复杂度 nlog(n)
bool is_prime(int a){
   if(a==1){
     return false;
   }
   //long long sqr=(long long)sqrt(1.0*a);
   for(int i=2;i*i<=a;i++){
     if(a%i==0){
       return false;
     }
   }
   return true;
}
void find_prime(int max){
  int i=0;
  for(i=2;i<=max;i++){
    if(is_prime(i)){
        p[i]=true;
    }
  }
}
int main(){
  int a=13,i;
  find_prime(a);
  for(i=0;i

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以上都是常规算法，下面是最快的算法（又回到了被数论统治的年代...）：

Miller_Rabin（米勒-拉宾）素数判别法：时间复杂度log2(n)

费马小定理：设p 是素数，a与p互素，则 .
这个定理反过来用，p 几乎（有非常小的概率不是，原因如下）一定是素数。

如果一个数不满足费马小定理，那么这个数必定是合数，但是如果这个数满足我们就没有办法确定是不是合数还是素数了，因为历史上有一种非常神秘的数的存在——卡密歇尔数，这类数我们也叫伪素数。无论我们选择多少个素数a，都无法排除Carmichael Number。

证明：

1. 前引：p是素数，且（0

所以且，且的话，p肯定不是素数。

2. 先判断是否是奇数，偶数直接挂。

3. 因为n是奇数，所以，必然r=n-1肯定可以分为=,相当于把拆成

4. 因为当成立时,若才行,因为此时,能继续分拆为但是不行因为没法拆成

• 若n是奇合数，则在区间0

核心部分的伪代码:

// 检测num是否是素数
    for(i=0;i<20;i++){
        c=num-1;
        // 生成20个大于等于2小于num的随机数，从而保证错误率低于(1/4)^20
        long long r=rand()%(num-2)+2;
        long long y=aPowb(r,c,num);
        if(y!=1){
            return 404;
            // 首先得保证a^(num-1)%num==1
        }
        for(j=0;j

代码：需要结合我的快速幂

#include
#include
#include
#include
#include
#include