【投资组合理论】马科维茨与MPT

二战结束后，欧美经济发展，股市复苏，人们的投资需求也逐渐增强。投资的本质是在不确定的收益和风险之间做出选择，所以如何测定组合投资的风险与收益，如何平衡这两项指标进行资产分配是市场投资者迫切需要解决的问题。

在这种背景下，1952年，年轻的马科维茨（Markowitz）在《金融学杂志》上发表了论文《资产组合的选择-投资的有效分散化》，标志着现代投资组合理论（MPT）的正式诞生。他的理论主要包括均值方差分析方法和投资组合有效边界模型。这套理论在实践中证明是有效的，被认为是现代金融学的开端，他也因此获得了1990年的诺贝尔经济学奖。

马科维茨老爷爷慈祥的笑容

均值方差分析方法

投资是通过节省现在的消费，期望获得未来更高的消费能力的一种行为。收益是获得未来消费能力中高出现在的部分，风险代表了获取收益的不确定性。投资时要首先要考虑的两个因素就是收益和风险。马科维茨的均值方差分析方法就描述了如何测定和平衡这两个因素。

未来的收益是不确定的，是一个随机变量，因此不能用一个确定的数值来描述收益率。一般通过概率分布来描述随机变量。概率分布的两个重要数字特征是均值和方差。

均值方差分析方法在描述收益率时，使用概率分布的均值。由于均值也称数学期望，所以这个描述被称为期望收益率，记做E(R)。在描述风险时，使用概率分布的方差，记做Var(E)。方差代表了分布的一种离散程度，而离散程度正好可以刻画不确定性。根据概率分布知识可知：

。

投资组合有效边界模型

如果进行多个投资，那么就得到了一个投资组合。那怎么根据单个投资去进行最优的组合？投资组合和各个投资的收益和风险有什么关系呢？

根据前边的均值方差分析方法，我们可以把问题转换一下，转换为研究联合分布和单个分布之间的关系。马科维茨投资组合有效边界模型就是通过这个研究得出的。

马科维茨观察不同投资的组合，并推导出各投资在不同权重下的风险-收益曲线，也就是联合分布的方差（标准差）-均值曲线。最终，他发现，存在一条最优组合曲线，对于给定收益率（均值），这条曲线上的投资组合有最小的风险（方差），这条曲线就是有效边界，也称有效前沿。

这个过程需要强大的计算能力，因为计算组合的方差时，根据单个投资权重和投资间协方差进行加和。曲线上每一个点都需要进行这个计算。例如，有n个投资的投资组合，就有n(n-1)/2个协方差需要计算，计算量和投资个数是平方关系。这个均值和方差的计算过程可以用以下公式描述：

投资组合收益和风险的计算公式

下图就是多个投资组合的风险-收益图形。其中每一个点代表一个投资组合，黄色的线就是有效前沿，上边的点在给定预期收益的情况下，有最小的风险。

风险收益图形与有效前沿

投资者在进行投资时，只需要选择其无差异曲线(indifference curve)和有效前沿的交点就能得到最优投资组合，如下图。

有效前沿和无差异曲线

虽然这些理论现在看来可能比较平常，但是放到那个年代，是非常具有开创性的。那个年代的投资分析很少有定量方法，大多都是靠经验和感觉，而且偏收益分析而轻风险分析。马科维茨的理论提供了可靠的量化分析方法均值方差分析方法，将收益和风险共同分析，且给出了有效前沿的模型。用现在的话说，就是大开脑洞。这套理论为投资组合管理未来的发展奠定了基础。

当然这套理论也有缺陷，比如有相同的均值和方差，只是前两阶矩相同，分布和风险可能是不同，因为还有偏度等高阶矩的影响。但这不会动摇这套理论的重要地位。

附：模型假设

1.风险是基于收益率波动进行衡量的。

2.投资者是风险厌恶的。

3.投资者倾向于提升效用。

4.效用函数是concave function，边际效用呈现递减趋势，效用随风险增加而增加，。

5.分析基于单一投资期。

6.在给定风险的情况下，投资者会选择收益更高的投资，在给定收益的情况下，投资者会选择风险更低的投资。

7.投资者是理性的。

说明：对于concave function，不太好翻译，因为大陆很多数学书籍关于函数凹凸性定义和国外的定义是相反的，和很多经济学书籍也是相反的。Convex Function就是函数图形在切线之下的函数。

参考资料

[1] 韩立岩.投资学：金融资产定价

[2]埃尔顿等.现代投资组合理论和投资分析

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