关系-代数系统 概念整理

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• Reflexivity r(R) 自反闭包
• Symmetry s(R) 对称闭包
• Transitivity t(R) 传递闭包
• Supremum sup{a,b}上确界
• infimum inf{a,b} 下确界

相容关系 集合A上的关系ρ，若ρ是自反的、对称的
等价关系 非空集合A上的关系R,R是自反的，对称的，传递的
等价类集合A的一个划分确定A的元素间的一个等价关系，划分中的集合是等价类

序关系

• 偏序关系 设A是一个非空集合，如果A的上的关系R满足*自反性、反对称性、传递性* ，则称R是A上第一个

• 覆盖 偏序集，对任意a,b∈A, a | a∈A，b∈A，b覆盖a}
• 拟序关系 反自反的、传递的 ，同时拟序关系必定反对称
• 全序关系 若偏序中任意两个元素都可比，则此偏序集为全序集
• 良序关系 全序集A的任何非空子集都含有最小元

• 最小元 偏序集A，A的子集B，B中元素x，确定的y ,对任意x都有y≤x，则称y是B的最小元,最小元是B中最小元素,与B中所有元素都可比
• 极小元 偏序集A，A的子集B，B中元素x，确定的y，对任意x，如果x≤y，那么x=y .
• 注意：若P则Q的命题形式，则表明这个y不一定要比任何一个B中元素小，而是在与他可比的元素中最小，所以极小元可能有多个，若果是一个，则一定是 -----最小元
最大元 、极大元的定义类似，不再赘述

• 上界 偏序集A ,子集B，a∈A，B中任意元素x，都小于等于a，则称a为子集B的上界，反之为下界
• 上确界 上界中最小的为上确界，下界中最大的为下确界

@TIME 2017-1-14 00:55

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代数系统

设A为任意集合，一个从A^n 到B的映射，成为集合A上的一个n元运算，如果B包含于A，则称n元运算时封闭的
一个非空集合A，连同若干个定义在该集合上的运算f1,f2....，所组成的系统称为一个代数系统，简称为代数，记作：

• 幺元 幺元e乘以任何一个元素，还是那个元素
• 零元 零元乘以任何一个元素，还是零元
• 逆元两个元素 a*b =b*a=e，则两个元素互为逆元

群

• 半群 V=代数系统，*是二元运算，* 封闭且可结合

• 含幺半群 +存在幺元 则称 为独异点或含幺半群
• 群 +任意元素都有逆元，则称 为群
• 循环群
  1. |G|>1 则群为非平凡群 （即群中元素大于1）
  2. 满足交换律则为Abel群
  3. 存在元素a∈G，使得任意元素都可用a的幂表示，循环群，a为G的生成元

环与域

• 环 是一个代数系统，+,* 是二元运算
  1. 是Abel 群
  2. 是半群
  3. *对+ 是可分配的
     则为环

• 可交换环 *满足交换律， 可交换环

• 含幺环 乘法*存在幺元，则称1为环的幺元

• 零因子 元素a,b≠0，但a*b=0,b*a=0,则称a,b是一个零因子

• 无零因子环 若a*b=b*a=0 则 a=0或b=0,则为无零因子环

• 整环 交换、含幺、无零因子 为整环

• 域 一个整环|R|>2,R去掉0因子对每个元素做逆是封闭的，自称，是域

格

是一个偏序集，任意a,b∈A,{a,b}在A中都有上确界sup{a,b}和下确界inf{a,b},则称是一个格

• 进一步定义inf{a,b} = a∨b ,sup{a,b} = a∧b 为由格所诱导的代数系统。

• 分配格 是格, ∧,∨满足分配律
• 有界格 存在全下界和全上界，则称A为有界格，记作 （偏序集的最大最小元）
• 有补格 是一个有界格，对于任意a∈A，在A中都有a的补元，则A为有补格
• 布尔代数 格有补且分配，则称之为布尔代数或布尔格