前言
其实这东西学过两年了……所以应该算是复习笔记吧？
定义
二叉堆，简称堆，顾名思义，是一棵二叉树，还是一棵完全二叉树。其显著特征是整棵树中父结点的值与子结点的值的大小关系都相同（即父结点的值均大于两个子结点的值或均小于两个子结点的值）。若大于，称之为大根堆，小于则是小根堆。显而易见，堆顶元素（即根节点）为二叉堆的最大或最小元素。在存储的时候，为了方便，我们可以将整个二叉堆存到一个数组里，以1为根结点，某一元素两个儿子的下标分别为（2i）和（2i+1），父亲下标为（i/2）。
用途
二叉堆可用于维护一个序列的极值。它支持插入一个元素，删除极值元素和查询极值元素。通过拼接两个二叉堆，我们还可以对删除指定元素的操作。
操作实现
插入
首先将元素插入二叉堆的最后，接着不断与它的父结点比较，若不满足堆的顺序则交换它与它的父结点，直到整个二叉堆重新满足二叉堆的性质（即到达堆顶或当前比较结果满足堆的顺序）。
void insert(const Type &x)
{
a[++size]=x;
unsigned int now=size;
while(now>1&&!compare(a[now>>1],a[now]))
{
swap(a[now>>1],a[now]);
now>>=1;
}
return;
}查询堆顶元素
直接返回根节点即可。
inline Type top(){return a[1];}删除堆顶元素
首先将堆顶元素与最后一个元素交换位置，并维护堆的大小（将堆的大小减一），则原来的堆顶元素已被删去。接下来我们要维护堆的性质，从堆顶元素开始，不断把当前元素与较小儿子（大根堆为较大）进行比较，若不满足堆的顺序则交换，直到整个二叉堆重新满足堆的性质（即到达末尾或当前比较结果满足堆的顺序）。
void erase()
{
a[1]=a[size];
--size;
unsigned int now=1;
while(now<<1<=size)
{
unsigned int t=now<<1;
if((t|1)<=size&&compare(a[t|1],a[t]))
t|=1;
if(compare(a[now],a[t]))
break;
swap(a[now],a[t]);
now=t;
}
return;
}删除指定元素（拓展）
以上就是普通二叉堆的所有操作。但有时候我们面临的问题涉及到从堆当中删除某一特定值的元素，这可以使用两个二叉堆拼接起来解决。我们建立一个辅助二叉堆，二叉堆使它的排序方式与需要维护的二叉堆相同。显然，当某一元素不是原二叉堆的堆顶元素时，它的存在与否对正确性并无影响，因此我们可以等到它变为堆顶元素时再删掉它。而辅助二叉堆就是用来保存尚未删除的数的序列的。每次遇到删除操作时，我们先将要删除的元素存入辅助二叉堆。等到取堆顶元素的操作时，我们不断查看原二叉堆的堆顶元素是否与辅助二叉堆相等，若是则同时删除两个二叉堆的堆顶元素，直到原二叉堆的堆顶元素与辅助二叉堆的堆顶元素不相等。易证，当某一元素成为原二叉堆的堆顶元素时，比它小（大根堆为大）的元素均已被删除，意即比它大的元素也不会存在于辅助二叉堆中，从而只有当辅助二叉堆中的堆顶元素等于原二叉堆时需要删除，故这一算法正确。
inline Type top()
{
while(!a.empty()&&!t.empty()&&a.top()==t.top())
{
a.erase();
t.erase();
}
return a.top();
}
inline void insert(const Type &x){a.insert(x);return;}
inline void erase(const Type &x){t.insert(x);return;}总代码
BasicHeap即为不带删除指定元素操作的基本堆，Heap为带这一操作的堆。
#ifndef _HEAP_HPP_
#define _HEAP_HPP_
template
class BasicHeap
{
private:
static const unsigned int maxn=500000;
Type a[maxn+1];
unsigned int size;
bool (*compare)(const Type &a,const Type &b);
static inline bool less(const Type &a,const Type &b){return a &b)
{
size=b.size;
for(unsigned int i=1;i<=size;++i)
a[i]=b.a[i];
}
inline Type top()const{return a[1];}
inline bool empty()const{return size==0;}
void insert(const Type &x)
{
a[++size]=x;
unsigned int now=size;
while(now>1&&!compare(a[now>>1],a[now]))
{
swap(a[now>>1],a[now]);
now>>=1;
}
return;
}
void erase()
{
a[1]=a[size--];
unsigned int now=1;
while(now<<1<=size)
{
unsigned int t=now<<1;
if((t|1)<=size&&compare(a[t|1],a[t]))
t|=1;
if(compare(a[now],a[t]))
break;
swap(a[now],a[t]);
}
}
};
template
class Heap
{
private:
BasicHeapa,t;
static inline bool less(const Type &a,const Type &b){return a